Volume con coordinate polari sferiche
Determina il volume tra la superficie $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ e l'area del piano xy determinata da $x^2+y^2\le 1,\ x+y>0,\ y\ge 0$.
Converto in coordinate polari sferiche.
$$K=0\le r\le 1,\ 0\le \phi \le \frac{3\pi}{4},\ 0\le \theta \le 2\pi$$
$$\iiint_{K} (\sqrt {4-r^2\sin^2\phi \cos^2\theta-r^2\sin^2\phi \sin^2\theta)}r^2\sin\phi drd\phi d\theta$$
Non riesco a capire come prendere $\int_{K} (\sqrt {4-r^2\sin^2\phi \cos^2\theta-r^2\sin^2\phi \sin^2\theta)}r^2\sin\phi dr$, il che mi fa pensare di aver commesso un errore da qualche parte.
EDIT: Grazie per tutte le risposte.
Ora capisco come i limiti di $\theta ,r,z$ lavori.
Non capisco completamente dove "scompare" la funzione.
$\sqrt {4-x^2-y^2} =\sqrt {4-r^2}$
Perché non è allora:
$\int \int \int _{K} {\sqrt {4-r^2}rdzdrd\theta }$
Risposte
L'area sul piano XY è delimitata da $x^2 + y^2 \leq 1, y \geq 0, x + y \geq 0$
Questo è un settore del cerchio $x^2 + y^2 \leq 1$ vincolato tra positivo $X$-asse e linea $y = -x$nel secondo quadrante. Questo deriva dal fatto che$y \geq 0$ quindi parte del cerchio nel terzo e quarto quadrante di $XY$ l'aereo non è incluso. $x + y \geq 0$ è vero per un quarto del cerchio nel primo quadrante come entrambi $x$ e $y$sono positivi. È anche vero per parte del cerchio nel secondo quadrante sopra la linea$y = -x$ come $|y| \geq |x|$.
Ora ti viene chiesto di trovare il volume tra quest'area sul piano XY e $z = \sqrt{4-x^2-y^2}$. Quindi è essenzialmente un cilindro ($\frac{3}{8}$ sezione trasversale di un cilindro di raggio $1$) tagliato fuori dalla sfera del raggio $2$ sopra $XY$ aereo.
Quindi ecco come apparirà nelle coordinate cilindriche -
$\displaystyle \int_{0}^{3\pi/4} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4-r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta$
Questo è molto più facile da risolvere in coordinate cilindriche. $$x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\\z=h$$ Quindi i limiti per $r$ siamo $0$ e $1$, i limiti per $\theta$ provengono $-\frac\pi4$ per $\frac{3\pi}4$e i limiti per $h$ siamo $0$ e $4-r^2$. Con questi,$$V=\int_{-\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4}d\theta\int_0^1dr\cdot r\int_0^{\sqrt{4-r^2}}dh$$
Nota vedi commento sotto. Da$y>0$, il limite inferiore per $\theta$ è $0$, no $-\pi/4$
Usando coordinate sferiche, dovresti dividerti $K$ in due regioni,
$$K_1=\left\{(r,\theta,\phi)\mid 0\le r\le2,0\le\theta\le\frac{3\pi}4,0\le\phi\le\frac\pi6\right\}$$
$$K_2=\left\{(r,\theta,\phi)\mid0\le r\le\sqrt{\csc\phi},0\le\theta\le\frac{3\pi}4,\frac\pi6\le\phi\le\frac\pi2\right\}$$
(dove $x=r\cos\theta\sin\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$, e $z=r\cos\phi$). Il limite superiore su$\phi$ per $K_1$ e limite inferiore per $K_2$ provengono dall'intersezione del cilindro $x^2+y^2=1$ e la sfera $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$. Sulla sfera,$r=2$, quindi abbiamo
$$2\cos\phi=\sqrt3\implies\phi=\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt3}2\right)=\frac\pi6$$
Il limite superiore per $r$ nel $K_2$ si ottiene convertendo l'equazione del cilindro $x^2+y^2=1$ in coordinate sferiche:
$$(r\cos\theta\sin\phi)^2+(r\sin\theta\sin\phi)^2=r^2\sin^2\phi=1\implies r=|\csc\phi|=\csc\phi$$
Quindi il volume è
$$\int_0^{\frac\pi6}\int_0^{\frac{3\pi}4}\int_0^2r^2\sin\phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi+\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi2}\int_0^{\frac{3\pi}4}\int_0^{\csc\phi}r^2\sin\phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi$$
Il primo integrale è banale. Per il secondo, integrandosi rispetto a$r$ rendimenti
$$\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi2}\int_0^{\frac{3\pi}4}\int_0^{\csc\phi}r^2\sin\phi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi=\frac13\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi2}\int_0^{\frac{3\pi}4}\csc^2\phi\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi$$
e osservandolo $\csc^2\phi=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi}(-\cot\phi)$, si scopre che anche il secondo integrale lo è.