4 차원에 통합 된 표면 일반화
나는 표면 적분을 평가하려고 노력하고 있지만 표면을 사용하는 대신 $\mathbb{R}^3$, 표면 사용 $\mathbb{R}^4$.
즉 말하자면,
$\oint_S f(x,y,z,w)\,dS$, S는 일부에 의해 주어집니다 $r(u,v,t) = \left( x(u,v,t) , y(u,v,t) , z(u,v,t) , w(u,v,t)\right)$
그래서 선 적분은 $|r'(t)|$, 표면 적분의 계수는 $|r_u \times r_v|$, 저는 Gramian 행렬의 제곱근을 사용하여 이것을 일반화했습니다. 지금까지 연구하기 전에 들어 본 적이 없는데, 매개 변수 함수에 대해 정확히 계산하는 방법을 모르겠습니다. $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$, 우리가 여기에있는 것처럼 $r(u,v,t)$.
누군가가이 평가를 도와 줄 수 있습니까? 차동 형태와 다양체를 통합하는 것이 포함됩니까? 나는 미분 기하학에 대해 조금 알고 있지만 많이는 아닙니다.
이 적분을 어떻게 평가하고 $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ 아날로그 $|r_u \times r_v|$ ?
답변
일반 설정에 대해 자세히 알아 보려면 표면 및 체적 요소를 사용하여 통합 에 대한 이전 답변을 살펴보십시오 . 그만큼$|r'(t)|$ 과 $|r_u \times r_v|$ 선 및 표면 적분에 대해 언급합니다. $\Bbb{R}^3$)는 단순히 행렬식 그 래미안 행렬의 제곱근입니다 (이것을 확인하기 위해 여러분에게 맡깁니다).
귀하의 특별한 경우에는 $S$ 일부 유클리드 공간의 내부에있는 경우 유도 된 리만 메트릭을 제공 할 수 있습니다 (즉, 표면에 접하는 벡터의 점 / 내적을 취할 수 있습니다. $S$). 그래서 우리가하는 일은 다음과 같습니다. 먼저 우리는$3\times 3$ 행렬 반환 함수 $G$ 다음과 같이 : \begin{align} G &= \begin{pmatrix} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial u}\right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t}\right\rangle \\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle\\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle \end{pmatrix} \end{align} 이것은 행렬 반환 함수이며 $(u,v,t)$, $G(u,v,t)$ 이다 $3\times 3$점에서 위의 모든 편도 함수를 평가하여 얻은 숫자의 대칭 행렬 $(u,v,t)$.
내부 제품이 대칭이기 때문에 : $\langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle$ (그리고이 유클리드 내부 제품의 경우 $\sum_i v^iw^i$), 다음과 같습니다. $G$는 대칭 행렬이므로 실제로 특정 예를 계산해야하는 경우 위쪽 삼각형 부분 만 계산하면됩니다. 매우 명백한 예로서$(1,3)$ 이 행렬의 항목은 \begin{align} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle &= \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial t} + \dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial w}{\partial t}. \end{align} 이제 매개 변수화가 $r:A\subset \Bbb{R}^3\to r[A] = S\subset\Bbb{R}^4$. 그때,\begin{align} \int_S f \, dS &= \int_A f\circ r \cdot \sqrt{\det G} \\ &\equiv \int_A f(r(u,v,t)) \cdot \sqrt{\det[G(u,v,t)]}\, du\,dv\,dt. \end{align} (어디 $\equiv$"다른 표기법으로 같은 것을"의미). 자,이 삼중 적분은$A\subset \Bbb{R}^3$ 예를 들어 Fubini의 정리를 사용하여 계산할 수 있습니다.