a, b 및 c를 홀수 양의 정수라고합니다. 이차 방정식 𝑎𝑥 ^ 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0에 합리적인 해가 없음을 보여줍니다. [복제]

Question

이를 증명하기 위해 Δ는 =$k^2$ 그래서 저는 a = 2p-1, b = 2q-1, c = 2r-1, 여기서 p, q, r은 모두 양의 정수입니다. $ b^2-4ac$ 그것은 $-16 p r + 8 p + 4 q^2 - 4 q + 8 r - 3$ 증명하기 어렵습니다. $-16 p r + 8 p + 4 q^2 - 4 q + 8 r - 3 ≠ k^2$ Δ ≠ 증명하는 방법 $k^2$ 그리고 모순의 방법을 사용할 수 있습니까? $x_0$= p / q 및 $gcd(p,q)=1$)

Answer 1

1 단계 : 우리는 그것이 0 개 또는 2 개의 합리적인 솔루션을 가지고 있음을 보여줍니다. 그렇다면 반대로, 즉$x_1 \in \mathbb{Q}, x_2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. 그때$x_1x_2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, 또는 $-ac\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. 모순.

2 단계 : 두 가지 합리적인 솔루션이 있다고 가정합니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.\begin{align*} (x - \frac{n_1}{m_1})(x - \frac{n_2}{m_2}) &= 0\\ (m_1x - n_1)(m_2x - n_2) &= 0 \\ m_1m_2x^2 - (n_1m_2 + n_2m_1)x + n_1n_2 &= 0 \end{align*}

이제 나는 우리가 끝났다고 주장 할 것이다. 선택할 수 있습니다.$n_i, m_i$ 그런 $\gcd(n_i, m_i) = 1$. 우리는 계수가 필요합니다$x$동일한 패리티를 갖습니다. 만약$m_1$ 그때도 $n_2$ 제공하는 것조차 틀림 없다 $n_1m_2 + n_2m_1$이상한. 대칭 인수는 다음과 같은 경우에 적용됩니다.$m_2$짝수이다. 마지막으로 둘 다$m$ 그때 이상하다 $n$ 이상하지만 지금 $(n_1m_2 + n_2m_1)$ 그래서 우리는 필요한 모순에 도달합니다.