$a\in \mathbb{N}$, $p$ 초기, $a<p$ 증명하다 $a\mid p+1\iff\exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ [복제]

Question

$a\in \mathbb{N}$, $p$ 초기, $a<p$ 증명하다 $a\mid p+1\iff \exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

내 시도 :

$a\cdot b \cdot c=p\cdot(b+c)$ .

나는 주어진 것을 사용하는 방법을 모른다
$a\mid p+1$

Answer 1

우리는 $ a \mid p+1$ 그래서있다 $\lambda$ 그런 $\lambda a =p+1$. 이제 나누기$ \lambda p$& \ begin {eqnarray *} \ frac {a} {p} = \ frac {1} {\ lambda} + \ frac {1} {p \ lambda}가 있습니다. \ end {eqnarray *}

다른 의미 : 우리는 $ \dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ 또는 $abc=p(b+c)$. 이것을 곱하십시오 $a$ & 재정렬 $(ab-p)(ac-p)=p^2$.

이것은 세 가지 가능성을 제공합니다 $ab-p=1$ 또는 $ac-p=1$& 결과는 다음과 같습니다. 또는$ab-p=p,ac-p=p$ 주는 $ab=ac=2p$ 그래서 $a=1$ 또는 $a=2$ 다시 결과는 다음과 같습니다.