아벨 그룹의 몫-잔차 유한성과 질서 요소 $p$

Aug 18 2020

가정 $A$ 아벨 그룹이고 $\pi$소수의 집합입니다. ㅏ$\pi$-number는 다음과 같은 소수의 곱입니다. $\pi$.

각각에 대해 가정 $p \in \pi$, $A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$ 유한 지수가 있습니다.

또한 가정 $A$ 이다 $\pi$-줄인; 사소하지 않은 하위 그룹이 없습니다.$A$ 그것은 $\pi$-나눌 수 있는. 즉,$H \leq A$ 있다 $h \in H$$m$$\pi$-모든 번호 $x \in H$, $x^m \neq h$.

허락하다 $j \in \mathbb{N}$, $p \in \pi$$m = p^jn$$\pi$-숫자 어디 $n$ 상대적으로 프라임 $p$.

  1. $A/A^m$ 잔여 유한?

  2. $A^{p^j}/A^m$ 질서가 없다 $p$?

Infinite Soluble Groups의 맥락은 다음과 같습니다.

답변

1 EricWofsey Aug 19 2020 at 05:05

$A/A^m$ 유한 지수의 아벨 그룹입니다 (특히, 지수 나누기 $m$), 유한 지수의 모든 아벨 그룹은 순환 그룹의 직접적인 합이며 특히 잔차 유한입니다. 예를 들어 모든 요소의 순서가 1, 2 또는 4 인 무한 아벨 그룹 의 답변을 참조하십시오 .

모든 요소부터 $a\in A/A^m$ 만족하다 $a^m=1$, 매 $p^j$th 파워 $a^{p^j}$ 만족하다 $(a^{p^j})^n=1$. 따라서 순서$a^{p^j}$ 분할 $n$, 그래서 될 수 없습니다 $p$. 그건,$A^{p^j}/A^m$ 질서가 없다 $p$.