알다 $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot…\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n}}$ 모든 $n$.

Question

모두를위한 증명 $n$: $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n}}$.

귀납법을 사용하여 뇌사 방법을 시도하고 곧바로 $$\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3n}}<\frac{1}{\sqrt{3n+3}}$$ $$...$$ $$1<0.$$부끄러워하고 주변을 둘러 보니이 실을 찾았습니다 . 귀납법을 사용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.$$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}<\frac{1}{\sqrt{3n}}.$$이것은 나를 원래의 문제로 인도합니다. 하지만 문제 해결 관점에서 어떻게 사용한다고 생각하십니까?$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$? 이 아이디어로 이끄는 첫 번째 입문에서 어떤 점이 있습니까? 아니면 위보다 더 좋은 방법이 있습니까?

Answer 1

쓰다 $a_n$ 에 대한 $n$당신의 순서에있는 th 용어. 광장을 봐$a_n$, 분자를 왼쪽으로 한 위치 회전합니다. 시작$n=2$ 당신은 관찰 $$ a_2^2=\frac12\frac12\frac34\frac34=\frac12\left(\frac32\frac34\right)\frac14\\ a_3^2=\frac12\frac12\frac34\frac34\frac56\frac56=\frac12\left(\frac32\frac34\right)\left(\frac54\frac56\right)\frac16\\ a_4^2=\frac12\frac12\frac34\frac34\frac56\frac56\frac78\frac78=\frac12\left(\frac32\frac34\right)\left(\frac54\frac56\right)\left(\frac76\frac78\right)\frac18 $$등등. 불평등$1+x\le e^x$ 다음 제공 $$ a_2^2\le \frac18 \exp\left(\frac18\right)\\ a_3^2\le\frac1{12}\exp\left(\frac18+\frac1{24}\right)\\ a_4^2\le\frac1{16}\exp\left(\frac18+\frac1{24}+\frac1{48}\right) $$ 그리고 일반적으로 $n\ge 2$ $$a_n^2\le \frac1{4n}\exp\left[\frac14\left(\frac12+\frac16+\frac1{12}+\cdots+\frac1{n(n-1)}\right)\right].$$ 시리즈 $\frac12+\frac16+\frac1{12}+\cdots+\frac1{n(n-1)}$ 망원경으로 $1$, 항복 $$a_n^2\le \frac{e^{1/4}}{4n}$$ 그것은 또한 유지 $n=1$. 이후$e^{1/4}\approx 1.284 < 4/3$, 이것은 증명 $a_n^2< \frac1{3n}$.

Answer 2

그것을주의해라 $$\frac{1}{\sqrt{an+b}} \cdot \frac{2n+1}{2n+2} \le \frac{1}{\sqrt{a(n+1)+b}} \\ \iff (a(n+1)+b)(2n+1)^2 \le (2n+2)^2 (an+b) \\ \iff an+a-4bn-3b \le 0$$

따라서 $a=3$, 다음 $b=1$작동 할 것이다. 물론 초기 사례를 증명해야합니다 ($n$= 1).

BTW : 처음 두 답변이 나온 것이 얼마나 놀랍습니까? $e$ 과 $\pi$, 각각.

Answer 3

첫 번째 접근 $$ \begin{align} n\prod_{k=1}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2 &=\frac14\prod_{k=2}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2\frac{k}{k-1}\tag{1a}\\ &=\frac14\prod_{k=2}^n\frac{2k-1}{2k}\frac{2k-1}{2k-2}\tag{1b}\\ &=\frac14\prod_{k=2}^n\frac{\color{#C00}{k-1/2}}{\color{#090}{k}}\frac{\color{#75F}{k-1/2}}{\color{#C90}{k-1}}\tag{1c}\\ &=\frac14\color{#C00}{\frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(3/2)}}\color{#090}{\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(n+1)}}\color{#75F}{\frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(3/2)}}\color{#C90}{\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(n)}}\tag{1d}\\[3pt] &=\frac1\pi\frac{\Gamma(n+1/2)^2}{\Gamma(n+1)\,\Gamma(n)}\tag{1e}\\[3pt] &\le\frac1\pi\tag{1f} \end{align} $$ 설명:
$\text{(1a)}$: 당겨 $k=1$ 앞장서 서 가져와 $n$ 텔레 스코핑 제품으로 내부
$\text{(1b)}$: 용어 재정렬
$\text{(1c)}$: 분자와 분모를 $2$
$\text{(1d)}$: 감마 함수의 비율로 제품을 작성합니다. $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$
$\text{(1e)}$: 사용하여 용어 수집 $\Gamma(1)=\Gamma(2)=1$ 과 $\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2$
$\text{(1f)}$: $\Gamma(x)$ 로그 볼록

따라서 우리는 더 강해집니다 $$ \prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\le\frac1{\sqrt{\pi n}}\tag2 $$

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더 나은 경계를 가진 약간 더 간단한 접근 $$ \begin{align} \prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k} &=\prod_{k=1}^n\frac{(2k-1)2k}{4k^2}\tag{3a}\\ &=\frac1{4^n}\binom{2n}{n}\tag{3b}\\ &\le\frac1{\sqrt{\pi\!\left(n+\frac14\right)}}\tag{3c} \end{align} $$ 설명:
$\text{(3a)}$: 분자와 분모에 곱하기 $2k$
$\text{(3b)}$: $\prod\limits_{k=1}^n(2k-1)2k=(2n)!$ 과 $\prod\limits_{k=1}^n2k=2^nn!$
$\text{(3c)}$: 불평등 $(9)$에서 이 답변

사실, 불평등을 사용하면 $(9)$에서 이 대답은 , 우리가 얻을$$ \frac1{\sqrt{\pi\!\left(n+\frac13\right)}}\le\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\le\frac1{\sqrt{\pi\!\left(n+\frac14\right)}}\tag4 $$