Arnold의 "판매자 문제"에 대한 현명한 해결책이 있습니까?
An Interview with Vladimir Arnol'd에 나오는 문제가 있습니다. 문제도 여기에 인용되어 있습니다 .
당신은 포도주 통에서 포도주 한 숟가락을 가져다가 차 한잔에 넣습니다. 그런 다음 (불균일!) 차 혼합물의 숟가락을 컵에서 통으로 되돌립니다. 이제 컵에 이물질 (와인)이 있고 배럴에 이물질 (차)이 있습니다. 어느 것이 더 큽니까? 컵에 담긴 와인의 양이나 조작이 끝날 때 배럴에있는 차의 양?
내 해결책은 다음과 같습니다.
핵심은 두 번째 스푼의 와인과 차의 비율을 고려하는 것입니다 (즉, 컵에서 통으로 운반되는 불균일 한 혼합물 한 스푼). 허락하다$s$ 한 숟가락의 양이고 $c$컵의 부피입니다. 이 두 번째 스푼의 포도주 양은$\frac{s}{s+c}\cdot s$ 이 숟가락에 담긴 차의 양은 $\frac{c}{s+c}\cdot s$. 그러면 잔에 남은 포도주의 양은$$s-\frac{s^2}{s+c}=\frac{sc}{s+c}$$ 그리고 이제 통에있는 차의 양도 $\frac{cs}{s+c}.$ 따라서 우리가 비교하도록 요청받은 양은 동일합니다.
그러나 Arnol'd는 또한 말합니다.
5 ~ 6 세의 아이들은 그들을 매우 좋아하고 풀 수 있지만, 공식적인 수학적 훈련에 망가진 대학 졸업생에게는 너무 어려울 수 있습니다.
솔루션의 단순한 특성을 감안할 때 트릭이 있다고 추측 할 것입니다. 6 살짜리가이 문제를 어떻게 해결할까요? 대학 교육이 내 생각을 방해하고 있습니다.
답변
숟가락의 양, $s$, 보존 수량입니다. 또한 컵에 들어있는 와인의 양입니다.
그런 다음 약간의 혼합물을 섭취하면$\mathit{tea}+\mathit{wine} = s$ 숟가락에
$s-\mathit{wine}$컵에 남아있는 와인의 양 및 와인 통에 부어 차의 양.
마지막에는 찻잔이 처음과 마찬가지로 가득 차 있습니다. 이것은 추가 된 와인이 사라진 차보다 더 큽니다.
첫 번째 근사치로, 컵에 한 숟가락의 와인이 있고 배럴에 한 숟가락의 차가 있습니다. 이러한 근사치 각각은 얼마나 떨어져 있습니까? 음, 두 번째 단계에서 약간의 포도주가 제거 되었기 때문에 컵에 포도주 한 스푼보다 약간 적습니다. 그리고, 통에 넣은 스푼에 약간의 포도주가 섞여 있었기 때문에 통에 차 한 스푼보다 약간 적습니다. 그러나 이러한 오류는 정확히 동일합니다. 둘 다 두 번째 숟가락에 있던 와인의 양입니다. 따라서 두 양은 동일합니다. 둘 다 한 스푼에서 두 번째 스푼에있는 와인의 양을 뺀 것입니다.
또는 여기에 훨씬 더 매끄러운 방법이 있습니다. 컵과 배럴의 총 액체 양은 바뀌지 않았는데, 그들이 교환 한 두 스푼이 취소 되었기 때문입니다. 따라서 전체적인 변화는 배럴이 컵의 동일한 양의 차와 약간의 와인을 교환했다는 것입니다.
두 번째 스푼의 와인과 차의 양을 계산할 때, 첫 번째 스푼 후에 컵이 균일하게 혼합되었다고 가정하는 것입니다. 문제는이를 가정하지 말라고 말합니다 (이것이 "( 불균일!) "은 모두에 관한 것입니다.)
1 단계 후에는 항상 컵에 한 스푼의 와인이 있습니다.
2 단계에서 :
한 스푼의 와인을 다시 통에 넣은 다음, 포도주에 차 0 개와 통에 포도주 0 개가 있습니다.
통에 차 한 스푼을 다시 넣은 다음 와인에 차 1 개와 통에 차 1 개가 있습니다.
반 스푼의 차와 반의 와인을 배럴에 다시 넣은 다음, 와인에 0.5 차, 차에 0.5 와인을 넣습니다.
와인에 들어있는 차와 차에 들어있는 와인의 양 (비율이 아님)은 상관없이 동일하게 유지되는 것 같습니다.
대칭에 의한 주장
문제에 접근하는 한 가지 방법은 찻잔의 차-와인 혼합물이 균일하지 않다는 가정하에 해결책을 찾을 것으로 예상된다는 사실의 중요성을 인식하는 것입니다 . 즉, 차 한 스푼을 통에 다시 넣는 지, 와인 한 스푼 또는 두 가지를 섞은 것인지 알 수 없습니다. 이것이 의미하는 바는 찻잔과 와인 배럴의 상대적인 크기와 찻잔에서 퍼내는 와인의 비율이 완전히 관련이 없다는 것 입니다.
이 지식을 통해 우리는 찻잔에 와인 한 스푼을 떠서 다시 돌아가거나 와인 통에 차 한 스푼을 떠서 다시 돌아갈 때 같은 답을 얻어야 함을 알 수 있습니다. 용기의 상대적인 크기에 대해 알 필요없이 (또는 알 필요가 없음) "역"실험을 수행하기 위해 배럴에 차를 채우고 컵에 와인을 채울 수 있습니다. 찻잔 크기의 와인 통과 통 크기의 찻잔이 있다면 와인을 차로 옮기는 것도 다르지 않을 것입니다. 결국 이것이 설명되는 상황 이 아님 을 나타내는 것은 없습니다 !
대칭으로 볼 때 유일한 논리적 결론은 찻잔이나 배럴이 차로 채워 졌는지 아니면 처음에 와인으로 채워 졌는지에 관계없이 찻잔에 포도주가있는만큼의 차가 포도주 통에 있다는 것입니다. 그렇지 않으면 두 실험을 모두 수행 할 때 모순 된 결과에 도달 할 것입니다. 한쪽으로 갈 때는 와인 통에서 더 많은 차를 찾을 수없고 다른쪽으로 갈 때는 찻잔에서 더 많은 와인을 찾을 수 없습니다. 특히 용기를 전환하면 더욱 분명합니다. 액체가 시작될 것입니다.
- 먼저 우리는 $B_{wine}$ 그리고 $C_{tea}$ 그리고 $S$푼
- 이제 우리는 $B_{wine}-S_{wine}$ 과 $C_{tea}+S_{wine}$
- 그런 다음 우리는 $B_{wine}-S_{wine}+(\frac{k}{100}S_{wine}+\frac{100-k}{100}S_{tea})$ 과 $ C_{tea}+S_{wine}-(\frac{k}{100}S_{wine}+\frac{100-k}{100}S_{tea})$
차 한잔에 $\frac{100-k}{100}S_{wine}$ 그리고 와인 배럴에는 $\frac{100-k}{100}S_{tea}$. 물론이야$S_{tea}=S_{wine}$. (둘 다 한 스푼)!
포도주 안에있는 작은 공 모양의 포도주 차를 상상해보십시오. 그렇다면 그 공은 와인에서 빠진 와인의 양과 정확히 일치해야합니다. Ergo, 차에있는 와인의 양입니다. 따라서 두 양은 동일하며 와인에 들어있는 차는 차에 들어있는 와인과 똑같습니다.
허. 나는 이것이 완전히 사소하다고 생각했기 때문에 5 또는 6 살이어야합니다. 나는 대수학보다는 시각적으로 훨씬 더 자주 추론하는 경향이 있음을 알아 차렸다.
전에:
후:
나는 그것이 의미 가 될! 한 숟가락이든 꼬 집든, 물건을 앞뒤로 3 ~ 4 번 옮겼 든, 무엇을 하시든간에 ... 결국 차로 대체되는 와인의 양이 컵에 들어갔을 것입니다. .
내가 그것을 벤 다이어그램으로 직관적으로 보는 방식. 두 개의 구체는 I를 이동하는 임의의 양을 나타냅니다.이 경우에는 차 숟가락 양입니다. 그래서 그들이 겹칠 때, 당신은 겹치지 않는 두 구체 중 어느 영역이 가장 큰지 묻습니다. 그러나 한 쪽에서 가져온 모든 영역은 다른 쪽에서 가져와야하며 영역은 동일합니다.