Aut (G) → Out (G)은 컴팩트하고 연결된 Lie 그룹 G를 위해 항상 분할됩니까?

Dec 06 2020

토폴로지 그룹의 외부 자동 변형 그룹 $G$ 짧고 정확한 시퀀스로 구성됩니다. $$ 1\longrightarrow \operatorname{Inn}(G) \longrightarrow \operatorname{Aut}(G) \longrightarrow \operatorname{Out}(G) \longrightarrow 1. $$이 시퀀스는 항상 분할되지는 않습니다. Non-split Aut (G) 참조$\to$아웃 (G)? , 예를 들어 불연속 그룹의 경우$G = A_6$.

나는 경우에 관심이 있습니다 $G$작고 연결된 Lie 그룹입니다. 이 경우 시퀀스가 ​​항상 분할됩니까? (만약$G$ 간단한 거짓말 대수 $\mathfrak{g}$그렇다면 대답은 ' 예' 라고 생각합니다 .)

답변

5 LSpice Dec 06 2020 at 01:54

예, $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G)$항상 갈라진다. 증거는 같이입니다 내 대답은 귀하의 질문에 (반드시 연결되지 않음) 소형 누워 그룹의 분류 : 관계$\operatorname{Aut}(G)$ 확장으로 $\operatorname{Inn}(G) = G/\operatorname Z(G)$ 이산 그룹에 의해 $\operatorname{Out}(G)$, 리프트 $\operatorname{Out}(G)$ ...에 $\operatorname{Aut}(G)$그 대답 의 의미에서 고정을 보존하는 automorphisms로 . (이들은 종종 "다이어그램 자동 형성"이라고 불립니다.) 다른 질문에서 우리는 거짓말 그룹 내부의 컴포넌트 그룹에 대한 정직한 섹션을 얻지 못했습니다. 왜냐하면 당신은 정체성 컴포넌트가 중심이 아니라고 가정했기 때문입니다.$\operatorname{Inn}(G)$ 중심이없고 모든 것이 괜찮습니다.