배포 $\frac{1}{1+X}$ 만약 $X$ 로그 노멀
가정 $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$.
가정 $X$ 다음과 같이 정의되는 로그 정규 분포 랜덤 변수입니다. $X:=X_0exp^{(-0.5\sigma^2+\sigma Z)}$, 다시 말해, $X$ 로그 정규 $\mathbb{E}[X]=X_0$.
유형의 변수에 관심이 있다고 가정합니다. $Y:=\frac{1}{1+X}$
질문 : 배포가 $Y$이름이 있습니까? 잘 정의 된 PDF 및 CDF가 있습니까?
다음과 같은 분포 $Y$ 이자율은 지수 적 마팅 게일로 모델링 될 수 있기 때문에 금융에서 자주 발생합니다 (즉, 특정 시점에서의 분포는 변수 $X$위에 정의 됨). 그러면 채권 가격은 실제로 변수에 해당하는 분포를 갖게됩니다.$Y$ (즉, 1 년 내에 만기되는 제로 쿠폰 채권입니다. 채권이 "$n$"년, 분모는 권력입니다 $n$: $(1+X)^n$)
나는 Python에서 간단한 시뮬레이션을 실행하여 $X$ 과 $Y$,와 함께 $X_0=0.01$, $\sigma=0.2$. 그런 다음 로그 정규 분포를 얻습니다.$X$ (물론 예상대로) :
에 대한 $Y$, 그래프의 모양은 로그 정규 랜덤 변수와 비슷하지만 평균 축을 중심으로 회전합니다 (즉, 더 긴 오른쪽 꼬리 대신 더 긴 왼쪽 꼬리). 그래프를 주시하는 것만으로도 PDF와 CDF가 잘 정의되어 있지만 대수를 시도하기 전에이 문제에 표준 솔루션이 있는지 여기에서 확인하고 싶었습니다.
답변
단순화 된 버전에 답할 것이므로 일반화는 연습으로 남겨 두십시오. 허락하다$Z$ 표준 정규 랜덤 변수이므로 $X=e^Z$표준 로그 정규입니다. 이후$X>0 $ 우리는 $Y=\frac1{1+X}$단위 간격에 있습니다. 허락하다$\phi, \Phi$ 표준 정규 분포의 밀도와 cdf (누적 분포) 함수이면 $$ \DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} F_Y(y)=\P(Y \le y)= 1-\Phi\left( \ln(\frac{1-y}{y})\right) $$ 미분에 의해 밀도는 $$f_Y(y)=\frac{\phi\left( \ln(\frac{1-y}{y}) \right)}{y(1-y)} $$분모의 요소는 생각을 로지스틱으로 이끌며, 사실 이것은 로짓-정규 분포 입니다.
그 관계는 중요해 보이며 정의에서 더 간단한 파생이 필요합니다. 이후$Z$ 표준 법선이므로 0에 대해 대칭입니다. $-Z$ 동일한 분포를 가지므로 (의 분포) $X$ 우리는 잘 사용할 수 있습니다 $X=e^{-Z}$. 그때$$ Y=\frac1{1+X}=\frac1{1+e^{-Z}}=\frac{e^Z}{1+e^Z} $$ 바로 다음과 같습니다. $\operatorname{logit}(Y)$ 밀도 함수를 유도 할 필요가없는 표준 정규 분포입니다.