발견 $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \choose k}$, 언제 $n$ 양의 정수

Aug 21 2020

MSE의 이전 질문 :

찾기 $\sum_{r=1}^{3n-1}{ (-1)^{r-1}r\over{3n \choose r}}$, 만약 $n$ 짝수이다

요약을 요구하기 위해 $$S_n=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{{n \choose k}}~~~~~(1)$$ 때이다 $n$조차. 프로 시저의 한계로 인해 양의 정수에 대해서만 증명 될 수 있습니다.$n$. 여기서 우리는 합 (1)이 짝수와 홀수 값 모두에 대해 닫힌 형태로 쓰여질 수 있음을 보여줍니다.$n$. 이항 계수의 역수에 대한 rhe 적분 표현을 다음과 같이 사용하겠습니다.$${n \choose k}^{-1} = (n+1) \int_{0}^{1}x^k (1-x)^{n-k} dx$$ 또한 $$\sum_{k=0}^{n}k z^k=\frac{z}{(1-z)^2}-\frac{z^{n+1}}{(1-z)^2}-\frac{n z^{n+1}}{1-z}$$ 그때 $$S_n=(n+1)\int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{n} k \left(\frac{x}{x-1}\right)^k (1-x)^n dx= (n+1)\int_{0}^{1}[-x(1-x)^{n+1}+(-1)^n x^{n+1}(1-x)+(-1)^n n x^{n+1}]dx.$$ 사용하다 $\int_{0}^{a} f(x) dx= \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ 두 번째 적분에서 $$S_n=(n+1) \left(\int_{0}^{1} -x^{n+1}(1-x) dx+(-1)^n\int_{0}^{1} x^{n+1}(1-x) dx+(-1)^n n \int_{0}^{1} x^{n+1} dx \right).$$ $$\implies S_n=-(n+1)[1+(-1)^{n+1}] \int_{0}^{1} (x^{n+1}-x^{n+2}) dx+(-1)^n\frac{n(n+1)}{n+2}. $$ $$S_n=-[1+(-1)^{n+1}]\frac{n+1}{(n+2)(n+3)}+ (-1)^n \frac{n(n+1)}{n+2}~~~~(2)$$ 문제는이 결과를 얻는 다른 방법이 무엇인지입니다 (2).

답변

1 JoshuaP.Swanson Aug 21 2020 at 18:16

멋진 지수 생성 함수에 적합합니다.

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{k}{\binom{n}{k}} x^n &= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1)! (n-k)! \right)\frac{x^n}{n!} \\ &= \frac{\frac{((x-3) x-2) x^2}{(x-1) (x+1)^2}+2 \log (1-x)+2 \log (x+1)}{x^3} \end{align*}$$두 번째 줄은 Mathematica가 뱉어 낸 것입니다. 아마도 손으로 결과를 재현하는 것은 비교적 간단합니다. 어쨌든 당신은$x^n$, 이것은 부분 분수와 Taylor 시리즈에서 약간 지루한 운동이지만 간단합니다. 세부 사항을 채우고 멋지게 구성하는 것은 통합 접근 방식과 길이가 거의 같지만보다 일반적인 생성 함수 도구를 사용하는 이점이 있습니다.