반복 된 복합 고유 값의 복합 켤레의 다중도

Question

실수 값 행렬의 경우 복잡한 고유 값이 복잡한 켤레 쌍으로 제공된다는 것을 알고 있습니다. 그러나 반복되는 복소 고유 값 (즉, 다중도가 1보다 큰 복소 고유 값)에 대해 어떤 일이 발생하는지 궁금합니다. 이 경우 반복되는 복소 고유 값의 켤레 복소수가 해당 고유 값과 동일한 다중성을 갖습니까? 그 진술이 맞다면 그것이 사실임을 어떻게 보여줄 수 있습니까?

Answer 1

실제 행렬이 $A$ 복소 고유 값을 가짐 $\lambda$이면 켤레 고유 값 $\bar \lambda$동일한 대수 및 기하학적 다중성을 갖습니다. 사실, 우리는 조금 더 말할 수 있습니다.$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$즉, 고유 값과 관련된 모든 구조가 동일합니다. 즉, 요르단 형식의$A$ 블록의 수와 크기가 동일합니다. $\lambda$ 과 $\bar \lambda$.

다중성을 증명하는 한, 우리는 다음을 가지고 있습니다 : 대수적 다중성은 근의 다중성입니다. $\lambda$ 특성 다항식에서 $p(x) = \det(xI - A)$. 실수 계수가있는 다항식의 경우와 마찬가지로 루트의 다중도$\lambda$ 이것은 루트의 다중 성과 동일합니까? $\bar \lambda$.

기하학적 다중성의 경우 한 가지 접근 방식은 다음과 같습니다. 행렬이 $\overline{A B} = \bar A \bar B$. 다음과 같은 경우$v$ 고유 값과 연관된 (복잡한) 고유 벡터입니다. $\lambda$, 그러면 우리는 $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ 즉,지도 $v \mapsto \bar v$ 뒤집을 수 있습니다 $\Bbb R$-고유 공간 사이의 선형 맵 $A$ 와 관련된 $\lambda$ 과 $\bar \lambda$. 이 공간은 동일한 차원을 갖습니다.