반대의 경우 Cayley Hamilton 정리 사용
내 교과서에는
: 허락하다 $M$ 될 $3 \times 3$ 행렬 방정식을 만족하는 에르 미트 행렬 $$ M^{2}-5 M+6 I=0 $$ 어디 $I$단위 행렬을 나타냅니다. 다음 중 행렬의 가능한 고유 값은 무엇입니까?$M$ (a) (1,2,3) (b) (2,2,3) (c) (2,3,5) (d) (5,5,6)
그런 다음 다음과 같이 진행됩니다.
Cayley-Hamilton 정리에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $\lambda^{2}-5 \lambda+6=0 \Rightarrow \lambda=2,3$ 올바른 옵션은 (b)입니다.
저자가 Cayley Hamilton 정리를 사용 했음은 분명하지만 반대로 Cayley Hamilton 정리를 어떻게 사용할 수 있습니까? 나는 Cayley Hamilton 정리의 반대가 일반적으로 유지되지 않는다는 것을 읽었습니다. 그래서 저자는 여기서 무엇을하고 있습니까?
누군가 내 실수를 지적하면 기쁠 것입니다. 대단히 감사합니다.
답변
저자가하는 일은 매트릭스가 $M$ 다항식을 만족합니다 $p(t)$, 최소 다항식 $M$ 분할 $p(t)$. 모든 고유 값으로$M$ 최소 다항식의 근으로 표시되면 고유 값이 $M$ 세트에 포함되어 있습니다 $\{2,3\}$.
한다고 가정 $p(M)=0$ 일부 정사각형 행렬 $M$ 일부 다항식 $$ p(\lambda)=\lambda^k+a_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots + a_{1}\lambda+a_0. $$ 그때 $$ p(M)-p(\lambda)I = -p(\lambda)I. $$ 에 대한 역을 얻기 위해 왼쪽을 다시 쓸 수 있습니다. $M-\lambda I$ 어떠한 것도 $\lambda$ 어떤 $p(\lambda)\ne 0$ 다음과 같이 : $$ (M-\lambda I)q(\lambda,M)=q(\lambda,M)(M-\lambda I)=-p(\lambda)I $$ 따라서 $M-\lambda I$ 뒤집을 수있는 경우 $p(\lambda)\ne 0$. 따라서 가능한 유일한 고유 값$M$ 솔루션은 $p(\lambda)=0$. 그것은 모든 뿌리를 의미하지는 않습니다$p(\lambda)$ 왜냐하면 $q(\lambda,M)=0$발생할 수 있습니다. 그러나 모든 고유 값이$M$ 의 뿌리입니다 $p(\lambda)$.
귀하의 경우에는 $p(M)=0$ 어디 $p(\lambda)=\lambda^2-5\lambda+6$. 그래서, 고유 값$M$ 뿌리 여야합니다 $p$, 이는 $3$ 과 $2$. 그렇다고 둘 다$2$ 과 $3$고유 값입니다. 그러나$2$ 과 $3$가능한 유일한 고유 값입니다. 가능한 답변 중 유일하게 가능한 합법적 인 답변은 (b)$2,2,3$ 둘 다 $1$, 또는 $5$, 또는 $6$ 소멸 다항식의 뿌리가 아니기 때문에 가능한 고유 값입니다. $p$.
Cayley-Hamilton 정리는이 사업과 관련이 없습니다.
만약 $\lambda$ 고유 값 $M$, 다음 $Mv=\lambda v$, 일부 $v\ne0$. 그것은 다음과 같습니다$$ (M^2-5M+6I)v=(\lambda^2-5\lambda+6)v $$ 그리고 이것은 $0$ 가정에 의해 우리는 $\lambda^2-5\lambda+6=0$. 따라서$\lambda=2$ 또는 $\lambda=3$.
그 후에는 데이터에서 다른 결론을 내릴 수 없습니다. $M$ 고유 값 만 있습니다. $2$ 아니면 그냥 $3$: 참으로 $M=2I$ 과 $M=3I$주어진 조건을 만족하고 Hermitian입니다. 고유 값의 다중성에 대해 아무 말도 할 수 없습니다.$$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$ 조건을 충족합니다 (그리고 Hermitian).
그러나 (a), (c) 및 (d)는 확실히 제외 할 수 있습니다.