방정식을 만족하는 음이 아닌 정수 x, y 및 z의 모든 집합을 결정합니다. $2^x + 3^y = z^2$ [복제]
방정식을 만족하는 음이 아닌 정수 x, y 및 z의 모든 집합을 결정합니다. $2^x + 3^y = z^2$
이것은 1992 년 INMO에서 나왔고 흥미롭게도 1996 년 BMO 2 라운드에도 포함 된 것 같습니다. 다른 올림피아드에서 직접 복사 한 질문을 들어 본 적이 없어서 이번이 처음이었습니다.
어쨌든 먼저 사건을 봤어요 $y=0$. 이것은 신속하게 하나의 해결책을 제공했습니다.$(x,y,z)=(3,0,3)$
다음으로 $x,y,z>0$
우린 알아 $2^x + 3^y \equiv (-1)^x+0 \bmod 3$ 그리고 그 완벽한 제곱은 $\equiv 0,1 \bmod 3$. 작동하는 유일한 조합은$x$ 고르고 $z=3m+1$ 유형 $\Rightarrow z$ 이상하다
또한 홀수 완전 제곱은 $\equiv 1 \bmod 4$. 더욱이,$3^y\equiv (-1)^y \bmod 4$ 이후 $x$ 그것이 의미하는 것조차 $x≥2$ 그러므로 $2^x$ 나눌 수있다 $4$. 이것은 더 나아가$(-1)^y \equiv 1 \bmod 4 \Rightarrow y$ 짝수입니다.
허락하다 $x=2k$. 그러면 우리의 원래 표현은$$3^y=(z+2^k)(z-2^k)$$ 두 가지 가능성이 있습니다. 첫 번째는 $(z-2^k)=1$ 과 $(z+2^k)=3^y$ 두 번째는 $(z-2^k)=3^{y-a}$ 과 $(z+2^k)=3^a$. 하지만 이전에$z=3k±1$ 그리고 $2^k \equiv (-1)^y \bmod 3$, 우리는 두 번째 가능성을 빨리 버릴 수 있습니다.
그래서 마침내 $$(z-2^k)=1$$ $$(z+2^k)=3^y$$
여기에 나는 비참하게 갇혔다. 내가 얻은 또 다른 것은$k$ 짝수입니다 (즉 $x$ 그 자체가 $4$). 한 가지 더는$y$ 짝수이다 $3^y$ 나눌 수있다 $9$. 지금 당장은이 사실을 어떻게 사용할 수 있을지 모르겠지만 언급 할 가치가 있다고 생각했습니다.
진행하는 데 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
첫째, 증명에 몇 가지 사소한 문제가 있습니다.
다음으로 $x,y,z>0$
모든 솔루션을 찾았습니까? $xyz=0$? (아니!)
우린 알아 $2^x + 3^y \equiv (-1)^x+0 \bmod 3$ 그리고 그 완벽한 제곱은 $\equiv 0,1 \bmod 3$. 작동하는 유일한 조합은$x$ 고르고 $z=3m+1$ 유형 $\Rightarrow z$ 이상하다.
그것은 사실이다 $x$ 짝수 여야하지만 그게 아니야 $z\equiv1\pmod{3}$. 또한 가능합니다$z\equiv2\pmod{3}$. 다행히 나중에$z=3k\pm1$, 그래서 아마도 이것은 오타 일 것입니다. 하지만 결론은$z$제자리에서 벗어난 것처럼 보입니다. 대신 이것은$x>0$, 그때 $$z^2\equiv 2^x+3^y\equiv1\pmod{2}.$$
나머지 증거는 괜찮습니다. 링크 된 중복은 원래 문제에 대한 대안 (그리고 더 빠른) 솔루션을 제공하지만 다음은 접근 방식에 대한 빠르고 쉬운 마무리입니다.
당신은 이미 $y$ 짝수이므로 $$2^{k+1}=(z+2^k)-(z-2^k)=3^y-1=(3^{y/2}+1)(3^{y/2}-1).$$ 그러면 오른쪽에있는 두 요소 모두 $2$, 그리고 그들은 $2$, 그래서 $y=2$.
주석에서 언급했듯이, 이것은 이전에 카탈로니아의 추측으로 알려진 Mihăilescu 정리의 특별한 경우입니다 . IMO 콘테스트에서 이러한 질문이 제기되었을 당시에는 여전히 추측이 였으므로 Mihăilescu의 정리를 알거나 사용할 것으로 예상되지 않았다고 말하는 것이 안전합니다. 수 이론에 관심이있는 참가자는 추측을 알고있을 수 있으므로 (아주 유명합니다) 적어도 이것이 유일한 해결책이라는 것을 '알 것'입니다.