벡터 필드의 소스 및 싱크에 대한보다 일반적인 정의

Aug 17 2020

내가 말할 수있는 한 소스와 싱크의 정의는 각각 발산 연산자로 주어집니다.

즉, 주어진 벡터 필드 $\vec{D}$, 소스 가 있습니다.$P$ 그것의 차이가 $\text{div}\vec{D}$ 에서 포지티브하다 $P$또는 음수이면 싱크 . 예를 들어 전자기학에서는 다음과 같이 말합니다.$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ 어디 $\rho_v$ 부피 전하 밀도이고 $\vec{D}$ 전기 플럭스 밀도입니다.

하지만 말하자 $\vec{D}$ 양의 포인트 요금으로 주어집니다. $q$ 에 위치한 $(0,0,0)$ 필드를 만드는

$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$

어디 $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

이 경우 $\text{div}\vec{D}=0$ 그러나 원점은 필드가 거기에서 "출발"하고 전하를 둘러싸는 각 표면의 순 플럭스가 양수이므로 일종의 소스입니다.

내 질문은 : 소스와 싱크에 대한 다른 정의가 있습니까? 아마도 좀 더 일반적이고 내가 마지막으로 언급 한 것과 같은 더 특별한 경우를 포함하는 것일 수 있습니까?

답변

1 LukasMiristwhisky Aug 17 2020 at 01:37

직관적 인 일반화는 발산 정리에서 비롯된 것이라고 생각합니다! 즉, 벡터 필드가 일부 영역에서 양의 발산을 갖는다는 것을 안다면 해당 영역 주변의 공 표면에 대한 적분은 양수가됩니다. 그것은 당신의 예를 포함합니다. 왜냐하면 그런 식으로 우리는 특이점을 볼 필요가 없기 때문입니다.$x = 0$, 우리는 그 특이점 주위의 공을 봅니다!

표시 $B_r(p)$ 반경의 열린 공 $r > 0$ 주위에 $p$, 및 표시 $\partial B_r(p)$ 경계면.

허락하다 $U \subset \mathbb{R}^n$ 공개 세트 여야하고 $p \in \mathbb{R}^n$ 거기에 포인트 $\epsilon > 0$ 그래서 구체가 $\partial B_r(p)$ 에 포함되어 있습니다 $U$ 모든 $r < \epsilon$.

연속 벡터 장이 주어지면 $X : U \to \mathbb{R^n}$, 우리는 포인트 $p \in U$ 은 ...

... 소스 에 대한$X$ 있는 경우 $\epsilon > 0$ 그래서 $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
... 싱크 에 대한$X$ 있는 경우입니다 $\epsilon > 0$ 그래서 $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$

벡터 필드를 확장하여 전체 내부에서 매끄럽게 할 수있는 경우 $B_r(p)$ 분야의 $S_r(p)$, 그러면 발산 정리는 우리에게

$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$

그리고 당신의 정의는 이것을 의미합니다. $\text{div} X(p) > 0$ 단일 지점에서 연속성 인수에 의해 전체 공이 될 것입니다. $B_r(p)$ 어느 $\text{div} X > 0$.

여러분의 예제가이 정의에 완벽하게 들어 맞고 0 부근의 공에 대한 적분을 매우 쉽게 계산할 수 있으며, 점 0 자체를 결코 건드릴 수 없더라도 모두 양수가 될 것입니다.

나는 교과서 등에서 인용하지 않으므로 이것은 합리적인 일반화에 대한 내 의견 일뿐입니다. :)

편집 : 대안은 발산의 정의를 변경하는 것이지만 여전히 포인트 주위에 공을 통합하는 아이디어를 사용합니다. 예를 들어이 질문과 답변을 참조하십시오.