범주의 소형 개체 및 소형 생성기
컴팩트 객체에 대한 두 가지 정의를 찾았습니다.
( Lurie, Jacob (2009), Higher topos theory, p.392 ) Let$\mathcal{C}$필터링 된 공동 제한을 허용하는 카테고리 여야합니다. 객체$C \in \mathcal{C}$이라고합니다 소형 경우 corepresentable 펑$$ \operatorname{Hom}_{e}(C, \bullet) $$ 필터링 된 공동 제한으로 통근합니다.
( Abelian 카테고리, Daniel Murfet, 정의 18 ) Let$\mathcal{C}$ 카테고리이고 $A$ 의 대상 $\mathcal{C}$. 우리는 말한다$A$이다 소형 우리가 morphism에있을 때마다 (또는 때때로 작은)$u: A \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}$ ...에서 $A$ 비어 있지 않은 부산물에는 비어 있지 않은 유한 부분 집합이 있습니다. $J \subseteq I$ 및 인수 분해 $u$ 다음 형식의 $$ A \longrightarrow \bigoplus_{j \in J} A_{j} \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}. $$
동등하다는 것을 어떻게 보여줄지 모르겠습니다. 제발 도와 주 시겠어요?
또한 아벨 카테고리의 생성자에 대한 정의도 있습니다.
( GENERATORS VERSUS PROJECTIVE GENERATORS INABELIAN CATEGORIES, 찰스 파 케테, p. 1 ) Let$\mathcal{A}$아벨 카테고리 여야합니다. 객체$M$ 의 $\mathcal{A}$ 의 생성자입니다 $\mathcal{A}$ 어떤 물체라도 $X$ 의 $\mathcal{A}$, 우리는 에피 모피 즘이 있습니다 $\bigoplus_{i\in I} M\to X$ 어디 $I$ 인덱스 세트입니다.
그렇다면 소형 발전기는 무엇이어야합니까? 다음과 같은 형태의 인수 분해가있는 생성자입니까?$$ \bigoplus_{i\in I} M \to \bigoplus_{i\in J} M \to X. $$ (모든 화살표가 반전 ??)
대단히 감사합니다!
답변
동등하지 않습니다. 예를 들어, 다음 범주의 Lurie-compact 객체$R$-모듈은 유한하게 표현 가능한 모듈과 동일합니다. (이는 Lawvere 이론, 즉 연산이 유한하고 보편적으로 정량화 된 방정식 공리에 따라 결정되는 대수 이론에 대한 모든 범주의 대수에 적용됩니다.) 반면에 Murfet-compact 객체는 다음 범주에 속합니다.$R$-모듈은 유한하게 생성 될 필요가 없습니다 (하지만 $R$Noetherian입니다). 여기에 대해 상당히 긴 토론이있었습니다. "Sums-compact"객체 = 모듈 범주의 fg 객체?
다른 커뮤니티는 때때로 같은 용어를 다르게 사용합니다. '콤팩트'라는 용어는 어떤 의미에서 암시 적이지만 최적화되지 않은 것 같습니다.
이 아이디어의 범위에 대한 까다로운 부분 중 하나는 여러 정의가 전체적으로 동일하지는 않지만 추가 가설과 동일하게된다는 것입니다. 예를 들어, 콤팩트 객체에 대한 기본 결과는 다음과 같은 모듈 범주의 특성화이며, 무엇보다도 Morita 동등성의 특성화를 제공합니다.
정리 (가브리엘) : 공동 완성 된 아벨 범주$C$ 카테고리와 동일 $\text{Mod}(R)$ 링을 통한 모듈 수 $R$ 콤팩트 투영 발전기를 인정한다면 $P$ 그런 $\text{End}(P) \cong R$.
이 정리의 진술에서 "압축"과 "생성자"는 모두 개별적으로 모호합니다. "Compact"는 Lurie-compact 또는 Murfet-compact를 의미 할 수 있으며 "generator"는 ~ 7 개의 다른 의미를 가질 수 있으며, 그 중 ~ 3 개가 일반적으로 사용됩니다 (?); 토론을 위해 Mike Shulman의 Generators 및 colimit 클로저 (5 개의 가능한 정의에 대해 논의) 및 내 블로그 게시물 Generators (6 개의 가능한 정의에 대해 논의하고 그중 4 개는 Mike의 정의와 겹침)를 참조하십시오.
행복한 사실은 그럼에도 불구하고 Gabriel의 정리 진술에서 "콤팩트 프로젝 티브"와 "컴팩트 프로젝 티브 생성기"의 의미가 모호하지 않다는 것입니다.
- 공동 완성 아벨 범주에서 Lurie-compactness 또는 Murfet-compactness를 사용하는 "compact projective"는 다음 조건과 동일합니다. $\text{Hom}(P, -) : C \to \text{Ab}$모든 (작은) colimits와 통근 (이 조건도있는 것으로 알려져 있습니다 작은이 , 내 블로그 게시물을 참조 작은 개체에 대한 논의를)하고,
- cocomplete abelian 범주에있는 조밀 한 투영 대상의 경우 거의 모든 "generator"정의가 붕괴를 인식하고 동등하게됩니다. 두 가지 이름을 지정하는 것으로 제한하겠습니다. 가장 약한 점은 0이 아닌 모든 객체가 0이 아닌지도를$P$ (내가 "약한 생성기"라고 부른다.이 이름이 표준인지는 잊어 버림) 그리고 가장 강력한 점은 모든 객체가 복사본의 부산물 사이의지도 쌍의 공동 이퀄라이저로 작성 될 수 있다는 것입니다. $P$ (내가 "제시하는 생성기"라고 부른다. 이것은 표준이 아니다. 아벨 범주에서 코 이퀄라이저는 코 커널로 대체 될 수 있지만이 정의는 그룹과 링과 같은 대수 범주에 잘 일반화된다).
안정된 추가 뉘앙스가 있습니다 $\infty$-Lurie가 작동하는 것과 같은 카테고리 설정은 투 영성을 떨어 뜨릴 수 있지만 정확한 진술이 무엇인지 잘 모르겠습니다. 예 : 안정이 있다고 생각합니다$\infty$-모듈 범주를 특성화하는 Gabriel의 정리의 범주 적 유사점 $E_1$ 링 스펙트럼과 아날로그에는 소형 발생기가 포함됩니다.
어쨌든, 내가 그만한 가치가있는 이유에 대해 Lurie-compactness를 컴팩트 함의 "기본"의미로 옹호 할 것입니다. Murfet-compactness는 abelian 설정에 매우 구체적이지만 Lurie-compactness는 많은 설정에서 좋습니다. 예를 들어, Lawvere 이론 (그룹, 고리 등)의 모델 범주에서 객체는 유한하게 제시된 경우 Lurie-compact입니다. 이미 이것은 유한하게 제공되는 모듈의 경우 모리타 불변이라는 사실을 완전히 이해하지 못함을 의미합니다.
Todd의 답변에 약간의 맥락을 추가하기 위해, 이러한 혼란의 이유는 토폴로지 공간에 대한 "콤팩트"의 원래 사용이 다양한 방식으로 일반화 될 수 있기 때문이라고 생각합니다.
첫째, 포셋에서 컴팩트의 두 가지 정의가 일치합니다. 만약$C$ Lurie-compact, 그러면 부산물 $\sum_i A_i$ 유한 하위 가족의 부산물의 필터링 된 공동 한계입니다. $A_i$, 따라서 가정은 $C$ 으로 $\sum_i A_i$그러한 유한 한 부산물을 통해 요인. (사실,이 방향은 카테고리가 포셋 일 필요가 없습니다.) 다른 방향으로, 만약$C$ Murfet-compact이면 포셋의 모든 공동 제한은 동등하게 부산물이므로 $C$ 유한 하위 colimit를 통해 필터링 된 colimit 요인으로, 단일 개체를 통해 요인으로 필터링됩니다.
둘째, 위상 공간 $X$ 전통적인 의미에서 포셋의 최상위 요소가 $\mathcal{O}(X)$오픈 서브 세트의 수는 이러한 범주 적 의미 중 하나에서 간결합니다. 따라서 차이점은 "콤팩트"라는 의미를 다른 방식으로 비 포즈로 일반화하는 데서 비롯됩니다. (불행히도 콤팩트 토폴로지 공간은 일반적으로 토폴로지 공간 범주에서 Lurie-compact 또는 Murfet-compact가 아닙니다!)