브라케팅 번호 대 커버링 번호

Question

이 슬라이드의 9 페이지에있는 기본형이 올바른지 다시 확인하고 싶습니다. http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

정리 : $N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

증명 : If $f$ 에 $2\epsilon$-까치발 $[l,u]$, 그러면 반경의 공에 있습니다. $\epsilon$ 주위에 $(l+u)/2$.

증거가 의미하는 바는 $2\epsilon$-브래킷 커버 $\cal F$, 그러면이 세트는 반경의 공 세트이기도합니다. $\epsilon$ 커버 할 수있는 $\cal F$. 반경의 다른 볼 세트가있을 수 있으므로$\epsilon$ 커버 할 수있는 $\cal F$, 커버링 번호는 브라케팅 번호보다 크지 않습니다.

지금까지 찾을 수있는 어떤 교과서에서도 같은 결론을 찾지 못했기 때문에 (이 결론이 너무 사소하기 때문인지 확실하지 않습니다), 그것이 옳고 그름인지 말할 수있는 자신이 없습니다. 누구든지 나를 깨달을 수 있다면 정말 감사하겠습니다 !!

Answer 1

귀하의 정교함은 본질적으로 옳습니다. $\|\cdot\|$-불알.

만약 $[l,u]$ 이다 $2\epsilon$-대괄호, 그러면 $\|\cdot\|$-반경의 공 $\epsilon$ 중심에 $(l+u)/2$, 이후 $l \le f \le u$ 암시 $$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

따라서 표지 $2\epsilon$-브래킷은 더 큰 덮개로 대체 할 수 있습니다. $\epsilon$-$\|\cdot\|$-동일한 카디널리티의 공.