브라키 스토크 론 문제의 미묘함

Question

다음은 내가 대학원에서 처음 접했던 brachistochrone 문제의 특정 사례이며, CM을 가르치는 데 가끔 hw 문제로 사용했습니다.

입자는 원점의 정지 상태에서 시작되고 경로를 따라 중력 아래로 떨어지도록 제한됩니다. $y(x)$ 포인트를 통과하는 $x=5$, $y=-1$(예 : 미터와 같은 임의의 단위). 중력 전위가 선형이라고 가정하겠습니다.$V=mgz$.

a) 소요 시간을 최소화하는 경로를 결정하십시오. 그 경로의 플롯을 만드십시오.

b) 시간을 고정시키는 또 다른 경로가 있습니까? 그렇다면 해당 경로의 플롯을 만들고이 경로가 최소, 최대 또는 안장 지점인지 설명하십시오.

Brachistochrone 문제에 대한 해결책은 물론 매우 잘 알려져 있으므로이 과제는 실제로 경계 조건을 충족하는 특정 사이클로이드를 찾는 것입니다. 파트 b에서 알 수 있듯이 표준 사이클로이드와``바운스 ''하는 두 사이클로이드가 둘 이상 있습니다.

이제 순회 시간이 추적 된 각도에 비례하기 때문에 단순한 사이클로이드가 절대 최소값이라는 것이 분명합니다. 하지만 다른 두 사람은 어떻습니까? 순진하게 그들은 안장이어야하지만, 동작 기능의 두 번째 변형은 명백하게 긍정적이며, 이는 그들이 국소 최소값임을 나타냅니다. 그러나 경로 공간의 토폴로지에 대해 재미있는 것이 없다면 그것은 옳을 수 없습니다. 더 높은 사이클로이드 안장 포인트 또는 최소값입니까?

추신 : 더 높은 사이클로이드가 솔루션으로 쉽게 무시 될 수 없음을 확인하려면이 속도 성분 플롯을 고려하십시오. $(v_x,v_y)$ 두 번째 사이클로이드의 시간 함수로.

가속의 해당 구성 요소는 다음과 같습니다.

분명히 가속도 (및 구속력)는 완벽하게 부드럽습니다.

Answer 1

요약 : 하나 이상의 사이클로이드 (각각 다른 에너지 를 가질 수있는$E$, 아래 참조), $x$축은 고정되어 있지 않습니다.

스케치 된 증거 ​​:

1. brachistochrone 문제 의 행동 (= 소요 시간) 은$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ 경계 조건 $y(0)=0$ 과 $y(a)=b$. (여기$y$-축은 아래쪽을 가리키며 우리는 시간과 공간의 단순 단위를 선택했습니다. $2g=1$.)

2. 물리적으로 우리는 경로가 $x\mapsto y(x)$적어도 연속적입니다. 수학적으로 적분은 Lebesgue 적분이어야합니다. 가능한 한 간단하지만 OP의 예를 통합하기 위해 우리는 편리한 타협을하고 경로가$x\mapsto y(x)$인 구분 저희 유도체 수 있지만, 연속 미분$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ 적분자가 Lebesgue 적분 가능 상태를 유지하는 한 조각 사이의 지점에서 단수가됩니다.

3. 고정 경로는 반드시 각 조각의 내부 내에서 오일러-라그랑주 (EL) 방정식을 충족해야 합니다. 조각 사이의 지점에서 추가 조건이 발생할 수 있습니다.

4. Lagrangian 이후 $L$ 명시 적이 지 않다 $x$-(조각 내에서) 에너지의 해당 개념이 보존됩니다. $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

5. 조각 솔루션은 사이클로이드입니다. $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$근사는 교두 근처에서 유효합니다. 교두 방정식은$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ 첨두 근처에서 입자는 자유 낙하 모션을 수행하며 이는 시간의 함수로 부드럽습니다. $t$.

6. 아이디어는 이제 레벨의 수평에서 교두를 자르는 것입니다. $y=\epsilon\ll 1$, 즉 일부 $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (단순화를 위해 교두의 오른쪽 가지만 고려합니다. 왼쪽 가지는 비슷합니다.) 교두의 동작은 다음과 같습니다.$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ 비교를 위해 수평 경로의 동작이 예상대로 더 빠릅니다. $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ 이것은 우리가 첫 번째 순서로 액션을 변경할 수 있음을 보여줍니다. $\epsilon$, 따라서 경로는 고정되어 있지 않습니다. $\Box$