블랙홀 근처 공간의 곡률
(엄격한 이론가들은이 질문에 대한 내 표현을 용서해야 할 것입니다. 저는 GR을 처음 접했고 대부분의 물리학 교육은 양자 역학에 있습니다)
비 유클리드 기하학에서 우리는 본질적으로 구부러진 공간에서와 같이 구형 공간을 말할 수 있습니다. 구형 공간에서 "평행"선은 점으로 수렴합니다. 나는 Wikipedia에서 "평형 상태에서 블랙홀의 이벤트 지평선의 토폴로지는 항상 구형입니다."라고 읽었습니다.
블랙홀 주변의 공간이 구형이므로 "평행선"의 수렴이 사건 지평선 내부의 어떤 지점에서 만난다고 주장하는 것이 정확한 진술입니까? 그렇지 않은 경우 특이점 주변의 공간을 쌍곡선, 구형 또는 다른 것으로 분류 할 수도 있습니까?
아래 링크 :
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
답변
블랙홀 근처의 시공간을 "구형"으로 묘사하는 것은 옳지 않다고 생각합니다. 우선 공간의 곡률은 블랙홀에 얼마나 가까이 있는지에 따라 달라집니다. 구의 경우 곡률은 일정하며 위치에 따라 달라지지 않습니다. 또한 차원이 2보다 큰 시공간의 곡률을 지정하려면 하나 이상의 실수가 필요합니다. (이것은 한 방향으로 향하는 삼각형의 각도가 180도 미만이되는 공간이있을 수 있기 때문입니다. 그러나 다른 방향으로 향하는 삼각형의 각도는 180도 이상이됩니다.) 또한 블랙홀의 중력장은 공간 곡률뿐만 아니라 시공간이 곡선이라는 사실에 크게 좌우됩니다.
곡률 텐서의 다양한 구성 요소의 기호를 기반으로 시공간의 곡률을 여전히 분류 할 수 있지만 분류는 구형 대 평면 대 쌍곡선보다 더 복잡합니다.
나는 Wikipedia에서 "평형 상태에서 블랙홀의 이벤트 지평선의 토폴로지는 항상 구형입니다."라고 읽었습니다.
이 답변은 그 진술이 의미하는 바를 명확히합니다. 그것은 우리가 4d 시공간에서 블랙홀로 시작하면 수평선을 그 자체로 3d 매니 폴드로 간주하면이 매니 폴드는 토폴로지를 갖습니다.$S^2\times \mathbb{R}$, 어디 $S^2$ 2 구 (공의 표면)이고 $\mathbb{R}$라인입니다. 지오메트리가 아니라 토폴로지에 대한 설명입니다. 특히,이 성명서는 측지선 (또는 평행선)에 대해 (거의) 아무것도 말하지 않습니다.
그건 그렇고, 진술은 4d 시공간의 블랙홀에 특화되어 있습니다. 5d 시공간에서 블랙홀은 비 구형 토폴로지를 가진 사건 지평선을 가질 수 있습니다.
예
4d 시공간에서 Schwarzschild 메트릭을 고려하십시오. 공간과 같은 세계 선의 선 요소는$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ 어디 $A(r)$수평선에서 0이됩니다. 표기법$d\Omega^2$ 구면 좌표 부분의 약어입니다. $A$, 조합 ${dr^2}+r^2d\Omega^2$구형 좌표에서 평평한 3d 유클리드 공간의 선 요소가 될 것입니다. 고정 값$r$4d 시공간의 3d 하위 다양체를 정의합니다. 만약$A(r)\neq 0$,이 매니 폴드에서 유도 된 메트릭은 다음과 같습니다. $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ 지금 어디 $r$ 과 $A(r)$상수입니다. 이것은 표준 측정 항목입니다.$S^2\times\mathbb{R}$, 여기서 요인 $\mathbb{R}$ 추가 좌표를 고려 $t$. 지평선에 우리는$A(r)=0$, 그리고 방정식 (1)은 의미가 없습니다. 부드러운 매니 폴드는 여전히 의미가 있습니다 만의 구성 요소 메트릭은 하지 않습니다. 다음 두 가지 방법 중 하나로이 문제를 해결할 수 있습니다.
취하다 $r$이 값에 임의로 가깝습니다. 이 정도면$A(r)=0$다기관이 될 것입니다. 방정식 (1)은$dt^2$수평선에서 사라지는 것은 수평선이 널 하이퍼 서피스 라는 사실에 해당합니다 .$t$-방향이 가볍습니다 (길이가 0 임).
더 좋은 점은 다른 좌표계를 사용하여 4d 메트릭이 수평선에 잘 정의되도록 할 수 있다는 것입니다. 에서는 커 - 차일드 좌표 상기 실트 메트릭은 형태를 갖는다$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ 어디 $V(r)$ 다음을 제외한 모든 곳에서 잘 정의됩니다. $r=0$. 수평선은$V(r)=1$, 어디서 $dt^2$용어가 사라집니다. 환경$r$ 이 특수 값과 같으면 유도 된 메트릭을 제공합니다. $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ 이것은 표준 측정 항목입니다. $S^2$, 그러나 토폴로지는 실제로 $S^2\times\mathbb{R}$, 어디서 $\mathbb{R}$ 요인은 $t$-동등 어구. 없다$dt^2$ 수평선이 널 하이퍼 서피스이기 때문에 (4)의 항 : $t$-방향의 길이가 0입니다. 이것은 이전에 도달 한 것과 동일한 결론이지만 이제는 메트릭 (3)이 지평선에 잘 정의되어 있기 때문에 더 직접적으로 도달했습니다.