비정상적인 변형 후퇴의 연속성
셀 수있는 토폴로지 공간 체인이 있다고 가정합니다. $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ 그리고하자 $X = \bigcup_n X_n$; 그리고 각각에 대해 더 가정하십시오$n$ 변형 후퇴가 있습니다. $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. 변형 후퇴를 만들고 싶습니다.$X$ ...에 $X_0$ 수행함으로써 $F_n$ 시간 간격으로 $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$, 각 지점을 잡고 $X_{n+1} - X_n$ 이 간격 밖에서 움직이지 않습니다.
이지도가 연속적이라는 것을 보여주는 데 문제가 있습니다. 연속성을 얻을 수 있습니다.$X \times (0,1]$ 붙여 넣기 보조 정리에서 쉽게 볼 수 있지만이 모든 것을 확대하는 방법을 모르겠습니다. $X \times I$, 간격이 시작될 때 함수의 이상한 동작으로 인해.
편집 : 방금지도가 일반적으로 연속적이지 않다는 것을 배웠으므로 $X$ CW 콤플렉스이고 $X_n$관련 skeleta입니다.
답변
일반적으로 사실이 아니므로 증명을 위해 어떤 추가 가설이 필요하고 어떤 응용 프로그램을 염두에두고 있는지 파악해야합니다.
간단한 반례를 위해 $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$부분 공간 토폴로지로. 그리고$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$부분 공간 토폴로지도 있습니다. 마다$X_n$ 변형 후퇴 $(1,0)$,하지만 $S^1$ 변형 후퇴하지 않습니다 $(1,0)$.
일반적으로 작동하는 흥미롭고 광범위한 상황, 즉 어디에서 $X$CW 콤플렉스입니다. CW 토폴로지를 사용하여 연속 확장이$X \times [0,1]$ 존재합니다.