비선형 적분 가능한 미분 방정식
전염병으로 인해 한 번도 해본 적이없는 물리학 수학 튜토리얼의 질문을 풀려고해서 답이나 적절한 해결 방법을 모르겠습니다. 그럼에도 불구하고 여기에 질문과 그것을 해결하려는 나의 시도가 있습니다. 피드백, 접근 방법에 대한 제안 및 추가 독서 권장 사항은 대단히 감사하겠습니다.
운동 방정식은 다음과 같습니다. $$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$ 과, $$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$ 어디 $V(x)$ 알려진 파생 가능성이며 $E$ 독립적이다 $t$.
- 방정식 제공의 통합으로 $\dot{x}$, 초기 조건으로 솔루션 표현 $x(t_0)=x_0$ t (x)의 형태로.
방정식에서 $(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
긍정적 인 루트를 취하고 우리가 알고있는 초기 조건에서 $Cste=-t_0$
$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$ 2. 무한대에서 증가하는 잠재력을 : $$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$ 어디 $C>0$ 과 $a>0$. 우리는 초기 속도의 입자를 고려합니다$v_0>0$. 점근 적 동작 제공$x(t)$ 언제 $E>0$ 과 $E=0$.
나는 표현을 대체 해 보았다$V(x)$ 적분의 무한대에서 : $$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$ 나는 그것을 형식으로 변환하려고했습니다. $\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ 대체에 의해 그러나 나는 아마도 표현을 직접 대체하는 것이 불가능하다는 것이 분명해졌습니다. $V(x)$무한대로.
또한 적분을 계산할 필요없이이 질문에 대한 방법이 있다고 생각하지만 하나를 찾을 수없는 것 같습니다. 누군가 나를 도울 수 있기를 바랍니다.
답변
첫 번째 질문에 올바르게 대답했다고 생각하지만 두 번째 질문의 문제는 제 생각에는 매우 어려운 반 파생 제를 얻으려고한다는 사실에서 발생합니다. 내 접근 방식은 다음과 같습니다.
x가 무한대에 가깝다고 가정하겠습니다.$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
방정식에서 이것을 대체합시다. $(1)$ 통합 : $$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$ 그래서 우리는 : $$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$ 또한, $$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$ 허락하다 $D=a(2a+2)(2a+3)$, $$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$ 방정식에서 이것을 대체 $(2)$ 우리가 소개하고 싶기 때문에 $E$ 점근 적 행동을 연구하는 솔루션에서 :
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
다음 은 그래프입니다.$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$ (어디 $a$ 과 $Z$상수) 더 나은 아이디어를 제공합니다. 슬라이더를 사용하여 기능의 동작을 확인하십시오.
그래프에서 볼 수 있습니다.$E=0$ 위치에있는 입자 $x_1$ 다가 오기 시작하다 $x=0$, 우리가 잠재력의 근원이라고 생각할 수 있는데, 그것이 거기에 도달하는 데 무한한 시간이 걸립니다 (가장 실용적인 목적을 위해 우리는 그것이 멈춘 것으로 간주 할 수 있습니다). 그리고 만약$E>0$ 같은 일이 발생하지만 갭이 증가하여 입자가 원점에 도달하기 전에 점근 적으로 중지됨을 나타냅니다.