보다 작거나 같은 최대 정수 $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$

Question

이것은 TIFR 2020의 박사 과정 입학 문제입니다.이 질문에는 명확한 답변이 필요합니다. 부분합이 숫자 이론에서 Abel의 공식을 사용하여 평가된다는 것을 알고 있지만이 형식의 시리즈에 대해 더 나은 방법이있을 수 있다고 생각합니다. 누구나 자신의 생각을 공유 할 수 있습니까?

Answer 1

합을 적절한 한정 적분과 비교하십시오.

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$

또한:

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$

그래서 합계는 $1332$ 과 $1333$ 그래서 그것의 필수적인 부분은 $1332$.

Answer 2

힌트 : 기능 고려$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ 이를 추론하기 위해 평균값 정리를 사용합니다. $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ 이제 거의 모든 것이 망원경이 될 것이라는 사실을 합산하고 사용할 수 있습니다.

Answer 3

냄새 나는 주교의 대답을 고려하는 또 다른 방법이 있습니다. 이것은 파생 답변이며 Stinking Bishop의 것과 똑같습니다. 나는 그냥 눈을 가늘게 뜨고 다른 각도에서 바라보고 있습니다.

$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$

$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$

$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$

지금 $\int_a^b C dx = C[b-a]$ 그래서 $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ 과 $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ 그래서

$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$

언급 한 바와 같이 $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$

그러나 또한 참고

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ 다시 색인화 될 수 있습니다. $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ 이는 $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.

그래서 우리는

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$

그리고 $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ 그때 $M< n+1 \le M+1$ 그래서 $n\le M< n+1$ 그래서 $\lfloor M\rfloor=n$.

그래서 $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.