보다 큰 삼각형 (확률)

Question

이것은 이전 질문의 후속 질문입니다. 그러나 다른 문제입니다. 그리고 이것은 더 흥미로운 대답을 가져야합니다. 그럼에도 불구하고이 문제에 접근하는 방법을 모르겠지만 해결책에 도달하므로 다시 한 번 도움을 주시면 감사하겠습니다.

질문:

반경이있는 원이 있습니다. $R$. 이 원 안에 세 점이 무작위로 선택 되면 . 세 점이 면적이 다음보다 큰 삼각형을 형성 할 확률은 얼마입니까?$\displaystyle \frac{R^2}{5}$?

편집 : 누구든지 작동 할 수있는 접근 방식을 시도하거나 찾았습니까? 이 문제를 해결하는 데 지침이 될 수있는 이전에 보았던 유사한 문제가 있습니까? 어려움이 무엇이라고 생각하십니까? 나는 문자 그대로 어디서부터 시작해야할지 전혀 모른다.

Answer 1

이것은 답이 아니라 시뮬레이션 일뿐입니다. 나는 대략적인 가치를 얻습니다

$$P(A\geq \frac{1}{5}) \approx 0.45$$

누군가가 그것을 확인하고 싶다면 내 세이지 코드입니다. mathworld의 평균값 과 일치합니다.

def randPt():
    r = random()**0.5 #sqrt to make it uniform
    a = random()*2*float(pi)
    return (r*cos(a), r*sin(a))

def simuTriArea():
    a,b,c = [randPt() for _ in range(3)]
    return 0.5*abs(a[0]*b[1] + b[0]*c[1] + c[0]*a[1] - b[0]*a[1] - c[0]*b[1] - a[0]*c[1])

#points([randPt() for _ in range(1000)]).show(aspect_ratio=1)
simuN = 100000
triAreas = [simuTriArea() for _ in range(simuN)]
print ("simulated P(A>0.2): %f" % (sum(1 for a in triAreas if a>0.2) / float(simuN),) )
print ("mean A: %f" %mean(triAreas))
graph = Graphics()
graph += histogram(triAreas, density=True, bins=50)
maxArea = float(3*3**0.5 / 4)
#graph += plot(???, xmin=0, xmax=maxArea)
graph.show()