Borel-Lebesgue 정리 증명 도움말
Vladimir A. Zorich의 분석 1 교과서에서 볼 수있는 정리 :
닫힌 구간을 포함하는 모든 개방 구간 패밀리에는 닫힌 구간을 포함하는 유한 하위 패밀리가 포함됩니다.
증명. 허락하다$S=\{U\}$ 열린 간격의 가족이되다 $U$ 폐쇄 구간을 커버하는 $[a,b]=I_1$. 만약$I_1$ 유한 한 가족 간격 집합에 포함되지 않음 $S$, 우리는 나눕니다 $I_1$두 반쪽으로. 반쪽 중 하나 이상, 우리는$I_2$, 유한 범위를 허용하지 않습니다. 이 과정을 간격으로 반복합니다.$I_2$ 등등.
이를 통해 중첩 시퀀스를 생성합니다. $I_1\supset I_2 \supset \dots \supset I_n \supset \dots$ 그 중에서 S의 유한 서브 패밀리에 대한 커버리지를 허용하지 않는 폐쇄 간격의 길이 이후 $I_n$ 와 동등하다 $|I_n|=|I_1|\cdot 2^{-n}$, 시퀀스 $\{I_n\}$임의로 작은 길이의 간격을 포함합니다. Nested Interval Property에 따르면 포인트가 있습니다.$c$,이 모든 간격에 있음 $I_n, n\in \mathbb{N}$. 이후$c \in I_1 = [a,b]$, 열린 간격이 있습니다. $ (\alpha, \beta)=U \in S$, 포함 $c$즉, $\alpha < c < \beta$. 허락하다$\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$. 이전에 생성 된 간격 시퀀스에서 간격을 찾을 수 있습니다.$I_n$, 그런 $|I_n|< \epsilon$. 이후$c \in I_n$ 과 $|I_n|<\epsilon$, 그것은 다음과 같습니다 $I_n \subset U=(\alpha, \beta)$. 이것은 간격이$I_n$유한 한 가족 간격 세트로 덮을 수 없습니다. 따라서 초기 진술은 사실입니다.
증명의 끝.
내가 이해하지 못하는 두 가지 :
- 선택하는 이유 $\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$좋은 것입니다. 어떻게 스스로 생각해 내야합니까? 또는 선택하기 전에 우리가 가지고 있던 정보$\epsilon$, 무엇을 선택해야하는지 표시해야합니까?
- 왜 $c\in I_n$ 과 $|I_n|<\epsilon $ 그 다음 $I_n\subset U=(\alpha, \beta)$ ?
독일어에서 텍스트를 번역했는데 용어간에 불일치가 없기를 바랍니다.
답변
$c-\alpha$ 사이의 거리입니다 $c$ 그리고 간격의 하단 $(\alpha,\beta)$. 비슷하게,$\beta-c$ 로부터의 거리 $c$간격의 상단에. 일반적으로 우리는$\vert \alpha-c\vert$ 과 $\vert \beta-c\vert$,하지만 우리가 알고 있기 때문에 $\alpha<c<\beta$, 절대 값을 생략하고 뺄셈에 대한 올바른 순서를 선택할 수 있습니다. $c-\alpha$ 때문에 $\alpha<c$, 및 $\beta-c$ 때문에 $c<\beta$. 그리고 최소$\epsilon$ 둘 중 최소 거리는 $c$간격 경계에. 더 가까운 것은 무엇이든$\epsilon$ ...에 $c$ 둘 다보다 크다 $\alpha$ 이하 $\beta$, 그래서 멀리있는 모든 것 $\epsilon$ 의 $c$ 또한 간격 내에 있습니다. $(\alpha,\beta)$. 그리고 그것은$I_n$: 포함하기 때문에 $c$ 길이가 $\epsilon$, 모든 포인트 $I_n$ 보다 가깝다 $\epsilon$ ...에 $c$, 따라서 $(\alpha,\beta)$. 그리고$I_n$.