Borel 세트 대 Baire 세트

Question

(1) 작은 Hausdorff 공간이 있다고 가정합니다. $X$셀 수있는베이스로. Borel 대수가 왜$\mathcal{B}(X)$ (그만큼 $\sigma$-오픈 세트에 의해 생성 된 필드) 및 Baire 대수 $\mathcal{B}a(X)$ (그만큼 $\sigma$-콤팩트에 의해 생성 된 필드 $G_\delta$세트) 같습니까? 이에 대한 증거는 어디에서 찾을 수 있습니까?

(2) 이제 $X$셀 수없는 기반이 있습니다. 이 경우$\mathcal{B}(X)$ 과 $\mathcal{B}a(X)$더 이상 일치하지 않으며, Baire 세트를 고려하면 Borel 세트의 일부 병리를 피할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그 병리는 무엇입니까? 또한 Baire가 아닌 Borel 세트의 예는 무엇입니까?

Answer 1

Baire 세트와 Borel 세트가 일치하는 첫 번째 경우를 보려면 Baire 세트에 대한 생성 세트 (콤팩트 $G_\delta$)는 항상 Borel (컴팩트는 Hausdorff 공간에서 폐쇄됨을 의미)이므로 Baire $\subseteq$쉽게 Borel. 그리고 만약$O$ 우리는 그것을 컴팩트 한 조합으로 쓸 수 있습니다. $G_\delta$ 모든 오픈 세트는 Baire에 있습니다. $\sigma$필드이므로 모든 Borel 세트도 마찬가지입니다. (두 번째 셀 수있는 Hausdorff 컴팩트는 완벽하게 정상임을 의미합니다.)

일반적으로 무엇이 잘못 될 수 있는지 확인하려면 $X=\omega_1 + 1$소형 Hausdorff이지만 두 번째로 계산할 수는 없습니다. 그 안에$\{\omega_1\}$ (그렇게 Borel) 닫혀 있지만 Baire는 아닙니다 (Halmos는 자신의 Measure Theory에서 컴팩트 세트가 $G_\delta$이 싱글 톤은 아닙니다). Dieudonné 측정$X$일반 아니지만, 보렐의 측정 이다 우리가 Baire 세트에서 작업 할 때 단골. Halmos의 책 또는 위상 측정 이론에 대한 Fremlin의 광범위한 작업을 참조하십시오. Baire 세트를 사용하면 통합 작업 등을 수행하기에 충분한 세트가 제공되고 규칙 성 속성 측면에서 더 나은 행동 척도가 제공됩니다.