보완 부분 공간, 참 / 거짓 질문

Question

참 또는 거짓?

$W_1$, $W_2$ 과 $W_3$ 벡터 공간의 부분 공간 $V$. 만약$W_1 ⊕ W_2 = V$ 과 $W_1 ⊕ W_3 = V$ , 다음 $W_2 = W_3$.

나는 실제로 시험에서이 작은 질문을했고 그것이 사실이라고 말했지만 나중에 그것이 거짓이라고 들었습니다. 누군가가 이유를 설명 해주면 그것이 참으로 거짓이라는 것을 직관적으로 볼 수 있습니다. 그래야만 반례를 내놓을 수 있습니다.

미리 감사드립니다.

Answer 1

$W_2$ 과 $W_3$ 동형이지만 동일한 부분 공간이 아닐 수도 있습니다.

이것을 보는 한 가지 방법은 먼저 기초를 선택하는 것입니다 $B$ 의 $W_1$. 이 기초를 기초로 확장하는 다양한 방법이 있습니다.$W_1 \oplus W_2$, 그래서 추가 벡터는 $B$ 다른 부분 공간에 걸쳐있을 수 있습니다.

또 다른 방법은자가 형성을 상상하는 것입니다. $\alpha$ 의 $V$, (즉 $\alpha:V \to V$가역 선형지도). 한다고 가정$W_1$ 불변 부분 공간 $\alpha$. 그때$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ 모든 것을 위해 $\alpha$.

Answer 2

참으로 잘못되었습니다! 예를 들어$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ 그러나 $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$