보여줘 $2^n-1 \neq k^y$ 이상하게 $y$ [복제]

Question

에 대한 $n\in \mathbb N$, $n>1$ 증명하다 $$2^n-1 \neq k^y$$ 모든 $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$

모순이 존재한다고 가정 $(k,y)$ 그런 $2^n-1 = k^y$, 나는 짝수 k와 짝수 y에 대해 쌍이 존재하지 않음을 증명하는 데 성공했습니다.

나는 그것이 이상한 y에 대해서도 존재하지 않는다는 것을 증명해야합니다.

이 증거에서 사용해야합니다.

$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$

감사합니다!

Answer 1

만약 $y$ 홀수입니다 (예 : $y=2z+1$), 다음 :

$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$

이것은 오른쪽에있는 두 번째 괄호의 합계가 $2z+1$ 용어는 모두 홀수이므로 전체 합계가 홀수입니다.

이것은 차례로 $2^n\mid k+1$ 소인수의 모든 발생으로 $2$ 첫 번째 요소에 있어야합니다. $k+1$.

그러나 우리는 또한 $k+1\mid 2^n$, 이것은 의미 $k+1=2^n$, 즉 $k=2^n-1=k^y$. 그래서$k=1$ 그래서 $2^n=2$, 즉 $n=1$ (모순), 또는 $k>1$, 의미 $y=1$ (모순).