보여줘 $\angle BOC=\angle AOD$.

Question

허락하다 $E$ 과 $F$ 볼록한 사변형의 반대편의 교차점 $ABCD$. 두 대각선이 만나$P$. 허락하다$O$ 수직의 발 $P$ ...에 $EF$. 보여줘$\angle BOC=\angle AOD$.

다음은 다이어그램입니다.

나는 정의했다 $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $ .

이제 알려진 기본형에 의해 $(Y,X;P,E)=-1$ 그리고 apollonius lemma에 의해 우리는 $PO$ 이등분 $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

마찬가지로 우리는 $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ 이등분 $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$ .

그러나이 각도 평등은 나를 어디로 이끌지 않습니다. 누군가 힌트를 줄 수 있습니까? 미리 감사드립니다!

Answer 1

문제를 간략하게 다시 말씀 드리겠습니다.

삼각형 $\triangle ABC$ 세 비안 세 마리 $AD, BE, CF$ 동의하는 $P$주어집니다. 밝히다$O:=EF\cap AD$ 그리고하자 $H$ 직교 투영 $O$ 위에 $BC$. 증명$\angle EHA=\angle KHF$.

허락하다 $L:=AH\cap EF$ 과 $K:=HP\cap EF$. 우리는 먼저$\angle LHO=\angle OHK$, 그리고 $\angle EHO=\angle OHF$. 결과가 이러한 관찰 결과를 따르는 지 관찰하십시오.

첫 번째 부분에서는 잘 알려진대로 $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ 이후 $(J,O; K, L)$ 고조파이고 $\angle OHJ=90^\circ$, 하나는 사실, $\angle LHO=\angle OHK$. 다른 부분도 유사하게 증명할 수 있습니다.$(J,O;F,E)=-1$.