보여줘 $f(x) = x|x|$ 지속적이고 차별화 가능한-솔루션 검증?
해결책없이 한 또 다른 운동.
나는 이것이 정확하다는 것을 매우 의심하므로 pls는 나를 수정합니다 :)
허락하다 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ~에 의해 주어지다 $f(x):=x|x| .$ 보여줘 $f$ 지속적이고 차별화 가능 $\mathrm{R}$
$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ 그래서 $f(x)$ 연속적이다
차별화 가능 : 쇼 $f^{\prime}(x)$ 전혀 존재 $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$
답변
연속성 부분은 정확하지만 차별화 부분은 아닙니다. 참고$f(x)=x^2$ 이다 $x\geqslant0$. 이것은$f'(x)=2x$ 이다 $x>0$ 그리고 그 올바른 파생물 $f$ ...에서 $0$ 이다 $0$. 같은 주장으로$f'(x)=-2x$ 이다 $x<0$ 그리고 왼쪽 도함수 $f$ ...에서 $0$ 이다 $0$. 그래서,$f$ 차이가있다 $\Bbb R\setminus\{0\}$ 그리고 왼쪽과 오른쪽 파생물이 $0$ 둘 다 같다 $0$, $f'(0)=0$. 특히,$f$ 차별화 가능 $0$ 너무.
또는
...에 대한 $x<0$, $f(x)=-x^2$, 차별화 할 수 있습니다.
...에 대한 $x>0$, $f(x)=x^2$, 차별화 할 수 있습니다.
...에서 $x=0$, $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ 기능을 차별화 할 수 있는지 확인합니다.
미분 가능한 기능도 연속적입니다.
에 대한 $x\neq 0$, $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$
왼쪽 및 오른쪽 제한 $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ 같이 $x\to 0$, 둘 다 이동 $0$, 그래서 $f(x)$ 차별화 가능 $0$.
참고 : $g(x)=|x|$, $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$