보여줘 ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$
질문 : 가정$x $음이 아닌 정수입니다. 밝히다${{m}\choose {x}}=0$ 만약 $x>m $. 허락하다$\{p_n\}$ 순서를 만족시키다 $0 <p_n <1$ 과 $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. 보여줘$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$
이것은 Poisson Distribution 공식의 증명과 동일합니까? 푸 아송 분포 공식의 진술에서$np$ 일정하지만 여기서 $n\to\infty $ $np\to $일정한$=\lambda $. 또한 푸 아송 분포 공식에서$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ 그러나 우리는 어떤 것을 증명해야합니다 $n $제한이 없습니다. 그렇다면 문제에 대한 증명과 푸 아송 분포 공식의 증명이 동일합니까?
참고 : 문제의 공식에는 제한이 없습니다. 우리는 증명해야합니다$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ 아니 $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$
답변
$\boxed{\text{Hint}}$
$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$
이후 $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, 우리는 $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$
$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ 그것을 보여 주려고 $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$
당신이 쓴 한계 는 포아송 한계 정리 의 공식적인 진술입니다 .
이전에 본 버전은 일반적인 가정이 약간 덜합니다. $np_n = \lambda$ 모든 $n$,보다는 $np_n \to \lambda$). 증명은 매우 유사하지만 더 일반적인 주장을 위해 추가 작업을해야 할 것입니다.
두 문장 모두에서 다음과 같은 제한이 있습니다. $n \to \infty$; "우리는 모든 것을 증명해야합니다.$n$ 한계가 없습니다. "
고정 용 $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$같이 $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ 그래서$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$