보여줘 $U_1 \oplus U_2=V$
Aug 21 2020
허락하다 $V=\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 될 $\mathbb{R} $ 모든 매핑의 벡터 공간 $\mathbb{R}$ ...에 $\mathbb{R}$
$$U_1=\{f \in V:f(-x)=f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$
$$U_1=\{f \in V:f(-x)=-f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$
보여줘 $U_1 \oplus U_2=V$.
누군가 그것을 시작하는 방법에 대한 힌트를 줄 수 있습니까?
나의 초기 아이디어는 $U_1 \cap U_2 = {0}$ 과 $\dim_\mathbb{R}(U_1)+\dim_\mathbb{R}(U_2)=\dim_\mathbb{R}(V)$
답변
KaviRamaMurthy Aug 21 2020 at 06:51
$U_1\cap U_2=\{0\}$쉽게 처리 할 수 있습니다. 두 번째 속성의 경우$f=g+h$ 어디 $g(x)=\frac {f(x)+f(-x)} 2$ 과 $h(x)=\frac {f(x)-f(-x)} 2$
TsemoAristide Aug 21 2020 at 06:52
$f(x)={1\over 2}(f(x)+f(-x))+{1\over 2}(f(x)-f(-x))$
Koro Aug 21 2020 at 06:52
힌트 : 모든 함수는 홀수와 짝수 함수의 합으로 작성 될 수 있습니다. 예 : 모든$g\in V$, 참고 $g(x) =Even +Odd=\frac{g(x) +g(-x)} {2}+\frac{g(x)-g(-x)}{2}\in U_1+U_2$.
에 대한$U_1\cap U_2$, 이상하고 심지어 둘 다인 기능에 대해 생각하십시오!