Breit-Wigner 공식 유도
나는 입자 물리학의 공명에 대한 Breit-Wigner 공식 의 유도를 검토 했지만 QM에 대한 나의 지식과 단계를 조화시킬 수 없습니다.
초기 상태는 다음과 같이 지정됩니다.
$$ \psi(t)=\psi(t=0)e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}}$$
여기에 내 첫 번째 질문이 있습니다.
- 직위에 대한 의존성이 무시되고 있습니까? 그렇다면 그 이유는 무엇입니까?
그런 다음
$$\textrm{Prob}(\textrm{ find state } |\psi\rangle)\propto e^{-\frac{t}{\tau}} $$
- 상태 찾기 $|\psi\rangle$어디? 시간에$t$? 이것은 무엇을 의미 하는가?
이제 푸리에 변환을 통해 이것을 에너지 영역으로 변환 할 수 있습니다. $\psi(t)$:
$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt}$$
그리고 우리는
$$f(E)= \dfrac{i\psi(0)}{(E_0-E)-\frac{i}{2\tau}}$$
- 범위가 다음에서 시작하는 경우 이것이 푸리에 변환 인 이유 $0$ 아니라 $-\infty$?
- 이것이 유효한 이유는 무엇입니까? 나는 위치에서 운동량 공간으로 변환하는 데 익숙하지만 시간 에너지는 QM에서 한 번도 해본 적이없는 것입니다.
- 또한 시간 고유 상태는 무엇입니까? 위치와 추진력에 대해 우리는$|x\rangle$ 과 $|p\rangle$,하지만 시간은?
그런 다음 절차는 계속되고 상태를 찾을 확률이 $|\psi\rangle$ 에너지로 $E$ ~에 의해 주어진다
$$|f(E)|^2=\dfrac{|\psi(0)|^2}{(E_0-E)^2+\frac{1}{4\tau^2}} $$
- 안돼 $|f(E)|^2\textrm{d}E$?
답변
나는 당신의 공개되지 않은 텍스트로 섀도 박스를 만드는 것이 두렵습니다. 모든 좋은 QM 텍스트는 이것을 다루지 만 당신이 무엇을 문제로 삼고 있는지 모릅니다. 상태는$$ \psi(t)=\psi(0)~e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}},$$ 쇠퇴하지 않을 확률은 단조롭게 감소합니다. $$ |\psi(t)|^2 / |\psi(0)|^2 = e^{-t/\tau}, $$표준 지수 붕괴 법칙. 방사성 물질 덩어리와 같은 대량 생존 확률을 얻기 위해 그러한 입자의 수를 곱할 수 있습니다.
(1,2) 붕괴와 무관하기 때문에 상상할 수있는 공간 의존성이 통합되었습니다. 상태는 공간의 어느 곳에서나있을 수 있으며, 붕괴는 공간 고려에 의해 영향을받지 않을 것입니다. 모든 공간 적분을 미리 수행하는 것을 생각하십시오. 따라서 파동 함수의 제곱은 확률 공간 밀도가 아니라 전체 우주에서 그 상태의 존재 확률입니다. 상태는 해밀턴 고유 상태 이지만 고유 값은 실수가 아닙니다.$E_0-i/2\tau$, 해밀턴은 은둔자가 아니기 때문입니다. 따라서 시간 측정을 시작할 때 초기 확률 1의 일부로 상태가 존재할 확률은 무한한 시간에 0까지 감소합니다.
(3) 시간 범위는 [0,$\infty$전체 푸리에 변환은 무한한 값 (duh!)으로 돌아 가게하고 시작에 대한 생존 확률 만 모니터링하기를 원하기 때문입니다. 시간 0.
(4) 유효합니까? 공식적인 작업입니다.$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt} = \dfrac{i\psi(0)}{(E-E_0)+\frac{i}{2\tau}} ~,$$상태의 스펙트럼 분해를 제공하며 텍스트의 공개되지 않은 응용 프로그램에 유용합니다. 본질적으로 문제 의 불안정한 상태 의 전파자이며 감쇠에 대한 진폭을 제공합니다.
(6) 실제로, 일반적으로 $|f(E)|^2$E , Lorentzian 또는 Cauchy 분포 의 확률 밀도에 해당하며 (전체) FT는 보시다시피$\propto e^{-|t|/\tau}$, 그중 절반 은 여기에서 사용하고 있습니다.
(5)는 모호합니다 ... 시간은 매개 변수입니다.