분기 절단이있는 경우 윤곽선 일체형.
나는 평가하려고
$$\int_0^{\infty} \frac{\log x}{1+x^3}dx$$
잔차 정리를 사용해야합니다. 나는 원점을 중심으로 한 고전적인 팩맨 윤곽을 선택했고, 크고 작은 원 정리를 사용하여 다음과 같이 말할 수 있습니다.
$$(2+2\pi i)\int_0^{\infty}\frac{\log x}{1+x^3}dx=2\pi i\sum_{z_i} Res(f,z_i)$$ 어디 $z_i$극입니다. 우리가 가진 잔류 물 계산 :
$$Res(f,-1)=\frac{i\pi}{3}$$ $$Res(f,e^{i\frac{\pi}{3}})=\frac{i\pi}{9}e^{-i\frac{2\pi}{3}}$$ $$Res(f,e^{i\frac{\pi}{3}})=-\frac{i\pi}{9}e^{i\frac{2\pi}{3}}$$
그래서 $$2\pi i\sum_{z_i}Res(f,z_i)=2\pi i(\frac{i\pi}{3}+\frac{i\pi}{9}e^{-i\frac{2\pi}{3}}-\frac{i\pi}{9}e^{i\frac{2\pi}{3}})=-\frac{2\pi^2}{3}+\frac{2\pi^2}{9}(2i\sin(\frac{2pi}{3}))$$
그러나 결과가 일치하지 않기 때문에 분명히 실수하고 있습니다. 제발 좀 도와 주 시겠어요?
답변
사용하는 경우 $$ f(z)=\frac{\log}{z^3+1} $$ 적분은 $$ \int_0^\infty f(x)dx+\int_{\infty}^0f(xe^{2\pi i})dx=2\pi i\text{Res}(f,z_1,z_2,z_3). \tag1$$ 이후 $$ \int_0^\infty f(x)dx=\int_0^\infty \frac{\log x}{x^3+1}dx $$ 과 $$ \int_{\infty}^0f(xe^{2\pi i})dx=-\int_0^{\infty}\frac{\log x+2\pi i}{x^3+1}dx $$(1)에 넣으면 원하는 적분이 취소됩니다. 이러한 유형의 적분의 경우$$ f(z)=\frac{\log^2z}{z^3+1} $$ 대신에 $$ f(z)=\frac{\log z}{z^3+1}. $$