분리 된 결합의 자유 그룹이 해당 자유 그룹의 자유 제품과 동형임을 보여줍니다.
P. Aluffi의 "대수 : 장$\it 0$" , 운동 II.$5.8$.
더 일반적으로 $F(A\amalg B)=F(A)*F(B)$ 그리고 그 $F^{ab}(A\amalg B)=F^{ab}(A)\oplus F^{ab}(B)$ 모든 세트 $A,B$. $($즉, 구조 $F,F^{ab}$ '부산물 보존'.$)$
여기 $F(A)$ 세트의 무료 그룹입니다 $A$, $A\amalg B$ 분리 된 결합입니다 $A$ 과 $B$, 및 $G*H$ 무료 제품입니다 $G$ 과 $H$ (즉, $\sf Grp$). 이들 모두는 증명을 위해 광범위하게 사용될 일반적인 보편적 인 특성을 특징으로합니다.$^*$
증명. 우리는 그것을 보여줄 것입니다$F(A\amalg B)$ 보편적 인 재산을 만족합니다 $F(A)*F(B)$. 우선, 우리는 (표준) 포함 동형을 구성 할 것입니다. 따라서 다음 다이어그램을 고려하십시오.
여기 $\iota_A,\iota_B,\iota$ 포함하는 것 $A,B,A\amalg B$각각의 자유 그룹으로. (고유 한) 그룹 동형$I_A,I_B$ 구성을 고려하여 유도 $\iota\circ i_B$ 과 $\iota\circ i_B$ 그리고 보편적 인 속성 $F(A)$ 과 $F(B)$. 따라서 그들은$$I_A\circ\iota_A=\iota\circ i_A,~~~I_B\circ\iota_B=\iota\circ i_B$$ 이제 그룹 동형이 주어 졌다고 가정합니다. $g_A\colon F(A)\to G,\,g_B\colon F(B)\to G$ 임의의 그룹에 $G$. 우리는 그것들을 특히 집합 함수로 간주하고$\iota_A$ 과 $\iota_B$각각 다음을 제공합니다.
독특한지도 $g$ 보편적 속성에 의해 주어집니다 $A\amalg B$ 그리고 그런 $$g\circ i_A=g_A\circ\iota_A,~~~g\circ i_B=g_B\circ\iota_B$$ 드디어, $\overline{g}$ 독특한지도 유도 $\overline{f}$ 그런
보편적 인 속성에 의해 $F(A\amalg B)$ 그래서 $\overline{g}\circ\iota=g$. 작곡은 우리에게 고유하게 결정된 그룹 동형을 제공합니다$\overline{g}\circ I_A\colon F(A)\to G$ 과 $\overline{g}\circ I_B\colon F(B)\to G$ 인수 분해 $F(A\amalg B)$. 다음을 보여주는 것이 남아 있습니다.
$$\overline{g}\circ I_A=g_A,~~~\overline{g}\circ I_B=g_B$$
그러나 주어진 commutativity 관계를 사용하여 우리는
$$(\overline{g}\circ I_A)\circ\iota_A=\overline{g}\circ(I_A\circ\iota_A)=\overline{g}\circ(\iota\circ i_A)=(\overline{g}\circ\iota)\circ i_A=g\circ i_A=g_A\circ\iota_A$$
따라서 다음 다이어그램의 두 삼각형은 통근
직각 삼각형은 $g_A\circ\iota_A$ 보편적으로 유도 된지도는 $g_A$그 자체. 그러나 왼쪽 삼각형에서 우리는$\overline{f}\circ I_A$ 해당 다이어그램도 출퇴근하므로 $\overline{f}\circ I_A=g_A$유도 된지도의 고유성에 의해. 모두와 같은 주장$A$s 대체 $B$s, 수익률 $\overline{f}\circ I_B=g_B$. 따라서 우리는$F(A\amalg B)$ 보편적 인 재산을 만족합니다 $F(A)*F(B)$ 그룹 동형의 모든 쌍으로 $g_A\colon F(A)\to G,\,g_B\colon F(B)\to G$ 독특한 요인을 통해 $F(A\amalg B)$ 사용 $I_A,I_B$ 과 $\overline{g}$. 그 후,$F(A\amalg B)\cong F(A)*F(B)$.
논쟁은 정확히 동일합니다. $F^{ab}$ 우리가 주목하는 곳 $G*H=G\oplus H=G\times H$ 아벨 그룹을 위해. $\square$
주어진 증명이 정확합니까? 그렇다면 (실질적으로) 개선 될 수 있습니까? 그렇지 않다면 어디에서 잘못 되었습니까? 나는 '단순한'동형 (솔직히 말해서 나에게는 충분하다) 대신에 실제 평등을 어떻게 보여줄지 잘 모르겠다.$\overline{g}\circ I_A=g_A$, 비록 논쟁이 효과가 있다고 확신하지만, 나에게 약간의 스케치입니다.
미리 감사드립니다!
$^*$ 나는이 보존이 본질적으로 'left adjoints presever colimits'로 귀결된다는 것을 알고 있습니다. $F\colon\sf{Set}\to\sf{Grp}$ 건망증 펑터에 인접하게 $\sf{Grp}\to\sf{Set}$. 그러나, 나는 싶습니다 되지 는 증거는 쉽게 / 더 이해가되지 않습니다 경우 이론적 지형 카테고리에 깊은에 손 대고. 따라서 주어진 증거는 처음부터 다소간입니다.
답변
그래서, 다른 보편적 속성을 증명한다고 주장하겠습니다. 즉,$F(A)*F(B)$ 보편적 인 속성을 가지고 $F(A\amalg B)$.
허락하다 $u_A\colon A\to F(A)$ 과 $u_B\colon B\to F(B)$세트에서 해당 무료 그룹으로의 표준 맵입니다. 허락하다$\iota_A\colon F(A)\to F(A)*F(B)$ 과 $\iota_B\colon F(B)\to F(A)*F(B)$무료 제품에 대한 표준 포함 사항입니다. 그리고하자$j_A\colon A\to A\amalg B$ 과 $j_B\colon B\to A\amalg B$ 분리 된 결합 / 집합 이론적 부산물에 집합 이론적 내포물이된다.
지도가 있다는 것을 보여주고 싶습니다 $u_{A\amalg B}\colon A\amalg B\to F(A)*F(B)$ 모든 그룹을 위해 $G$ 그리고 모든 세트 이론지도 $f\colon A\amalg B\to G$, 고유 한 그룹 동형이 존재합니다. $\mathscr{F}\colon F(A)*F(B)\to G$ 그런 $\mathscr{F}\circ u_{A\amalg B}=f$.
그래서 먼저지도 $\iota_A\circ u_A\colon A\to F(A)*F(B)$ 과 $\iota_B\circ u_B\colon B\to F(A)*F(B)$ 독특한지도를 만들다 $u_{A\amalg B}\to F(A)*F(B)$ 그런 $u_{A\amalg B}\circ j_A=\iota_A\circ u_A$ 과 $u_{A\amalg B}\circ j_B=\iota_B\circ u_B$.
이제 $f\colon A\amalg B\to G$. 지도$f\circ j_A\colon A\to G$ 형태를 유도 $F_A\colon F(A)\to G$ 와 $F_A\circ u_A=f\circ j_A$; 유사하게, 우리는 형태가 있습니다$F_B\colon F(B)\to G$ 와 $F_B\circ u_B=f\circ j_B$. 그리고지도$F_A$ 과 $F_B$ 형태를 유도하다 $\mathscr{F}\colon F(A)*F(B)\to G$ 와 $\mathscr{F}\circ \iota_A=F_A$ 과 $\mathscr{F}\circ \iota_B=F_B$. 우리는 이것을 보여주고 싶습니다$\mathscr{F}$ 만족하다 $\mathscr{F}\circ u_{A\amalg B}=f$, 그리고이 속성이있는 고유 한지도입니다.
보편적 인 재산 $A\amalg B$ 우리에게 말한다 $f$ 독특한지도입니다 $g\colon A\amalg B\to G$ 그런 $g\circ j_A=f\circ j_A$ 과 $g\circ j_B=f\circ j_B$. 그래서 우리가 증명할 수 있다면$\mathscr{F}\circ u_{A\amalg B}$ 또한이 속성을 가지고 있다면 우리는 $f$.
지금, $$\begin{align*} (\mathscr{F}\circ u_{A\amalg B})\circ j_A&=\mathscr{F}\circ (u_{A\amalg B}\circ j_A)\\ &= \mathscr{F}\circ (i_A\circ u_A)\\ &=(\mathscr{F}\circ i_A)\circ u_A\\ &= F_A\circ u_A\\ &= f\circ j_A;\\ (\mathscr{F}\circ u_{A\amalg B})\circ j_B &= \mathscr{F}\circ (u_{A\amalg B}\circ j_B)\\ &= \mathscr{F}\circ (i_B\circ u_B)\\ &= (\mathscr{F}\circ i_B)\circ u_B\\ &= F_B\circ u_B\\ &= f\circ j_B. \end{align*}$$ 따라서, $\mathscr{F}\circ u_{A\amalg B}=f$, 바라는대로.
독창성에 관해서는 $\mathscr{G}\colon F(A)*F(B)\to G$ 그렇게 될 $\mathscr{G}\circ u_{A\amalg B} = f$. 우리는 그것을 보여주고 싶습니다$\mathscr{G}=\mathscr{F}$. 이후$\mathscr{F}$ 그런 독특한지도입니다 $\mathscr{F}\circ i_A=F_A$ 과 $\mathscr{F}\circ i_B=F_B$, 그것을 보여주는 것으로 충분합니다 $\mathscr{G}$ 이 속성도 있습니다.
그것을 보여주기 위해 $\mathscr{G}\circ i_A=F_A$, 그것은 보편적 인 속성을 가지고 있음을 보여주기에 충분합니다. $F_A$즉, $(\mathscr{G}\circ i_A)\circ u_A=f\circ j_A$. 그리고 실제로$$\begin{align*} (\mathscr{G}\circ i_A)\circ u_A &= \mathscr{G}\circ (i_A\circ u_A)\\ &= \mathscr{G}\circ(u_{A\amalg B}\circ j_A)\\ &= (\mathscr{G}\circ u_{A\amalg B})\circ j_A\\ &= f\circ j_A, \end{align*}$$바라는대로. 그러므로,$\mathscr{G}\circ i_A=F_A$, 필요에 따라. 대칭 적으로$\mathscr{G}\circ i_B=F_B$. 이것은$\mathscr{G}=\mathscr{F}$, 고유성을 부여하고 우리는 끝났습니다.