분리 가능한 모든 메트릭 공간에 대한 설명에는 셀 수있는 기반이 있습니다.

Question

분리 가능한 모든 미터법 공간 (예 : X)에 셀 수있는 기준이 있음을 증명하십시오. (힌트 : X의 일부 셀 수있는 밀도 하위 집합에서 합리적인 반경과 중심을 가진 모든 이웃을 가져옵니다).

내 질문은 : 합리적인 반경을 가져야합니까? X는 분리 가능하므로 셀 수있는 조밀 한 집합이 있습니다. 베이스를 만들기 위해 우리는 상기 셀 수있는 조밀 한 부분 집합을 사용하고 부분 집합에서 중심을 가진 공을 고려할 수 있습니다. 공의 수는 여전히 셀 수 있습니다. 왜 우리에게 합리적인 반경이 필요한지 모르겠습니다. 이것을 명확히하십시오.

Answer 1

조밀 한 부분 집합의 각 지점에서 하나의 공만 가져 가면 기본이 제공되지 않습니다. 반경을 임의적으로 허용하면 일반적으로 수많은 이웃이있을 것입니다. 합리적인 반경으로 공을 가져 가면 셀 수있는 기반이됩니다. 계산 가능한 0이 아닌 반지름 세트를 사용할 수 있습니다.$\epsilon > 0$, 반지름이 다음보다 작은 공을 포함합니다. $\epsilon$. 예를 들어 반경이있는 공을 가져갈 수 있습니다.$1/n$ ...에 대한 $n = 1, 2, \ldots$.