분포 이론 $ {u}\,{\sin((\pi)x)}=1.$ [닫은]

Nov 16 2020

저는 Friedlander와 Joshi의 분포 이론을 사용하고 있습니다. 나는 모두를 찾고 싶다$u$$D'(\mathbb R)$ 그런 :

$$ {u}\cdot{\sin((\pi)x)}=1.$$

모든 정수가 극이라는 것을 알 수 있습니다. 단순화가 있습니까?

답변

reuns Nov 16 2020 at 03:49

$$f = pv(\frac{1}{\sin(\pi x)})$$ 해결책입니다.

그런 다음 모든 솔루션은 $$u=f+w, \qquad w\sin(\pi x)=0$$ 그런 주어진 $w$, 일부 수정 $\psi \in C^\infty_c(-1,1)$, $\psi(0)=1$.

모든 $\phi \in C^\infty_c(-1,1)$ 우리는 $$\langle w,\phi-\phi(0)\psi\rangle = \langle w\sin(\pi x),\frac{\phi-\phi(0)\psi}{\sin(\pi x)}\rangle=0$$ 즉. $$\langle w,\phi\rangle= \langle C\delta,\phi\rangle,\qquad C = \langle w,\psi\rangle$$ 끝낼 수 있니?