분포의 수렴 $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$
배포 순서 정의 $u_n$.
허락하다 $u_n\to u$ 에 $D'(X)$ 그리고 우리가 seuqence를 가지고 있다고 가정합니다. $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ 그런 $\varphi_n\to \varphi $ 에 $C_c^\infty(X)$.
우리가 보여줄 수 있습니까 $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$
우리가 보여줄 수 있다는 걸 알아 $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ 어떠한 것도 $\phi\in C_c^\infty(X)$,과 $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ 각각 $n$.togethor를 결합하는 방법?
$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$
하지만 정확히 두 개의 동일한 변수가 아닙니까?
답변
나는 가정한다 $X$ 의 공개 하위 집합입니다 $\mathbb{R}^n$. 모든 소형 하위 집합$K$ 의 $X$, 허락하다 $C_K^{\infty}(X)$ 모두의 Frechet 공간을 나타냅니다 $f \in C_c^{\infty}(X)$ 그런 $\text{supp}(f) \subset K$.
엄격한 귀납적 한계 토폴로지에서 수렴에 대한 사소하지 않은 정리 $C_c^{\infty}(X)$ 있어야 함을 의미 $n_0 \geq1$ 콤팩트 한 부분 집합 $K \subset X$ 그래서 각각 $\varphi_n$ 와 $n \geq n_0$ 과 $\varphi$ 그 자체가 $C_{K}^{\infty}(X)$ 그리고 그 $\varphi_n \rightarrow \varphi$이 공간에서. 제한지도$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ 약한 별 토폴로지에 대해 연속적이므로 제한된 분포의 순서 $u_n|_{C_K^{\infty}}$ 제한된 분포로 수렴 $u|_{C_K^{\infty}}$ 약한 별 토폴로지에서 $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.
따라서 우리는 모든 Frechet 공간에서 $V$, 벡터의 모든 수렴 시퀀스에 대해 $\varphi_n \rightarrow \varphi$ 연속 선형 함수의 약한 별 수렴 시퀀스 $\ell_n \rightarrow \ell$, 우리는 $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ 에 $\mathbb{C}$, 같이 $n \rightarrow \infty$.
더 쉽게 줄임으로써, 이것을 증명하는 것으로 충분합니다. $\varphi=0$ 과 $\ell = 0$.
이것은 이 답변 에서 설명한 것처럼 Frechet 공간의 균일 경계 원칙에서 이어 집니다. 이 정리는 가족이$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ 자동으로 동일 연속입니다. 즉, $\varepsilon >0$, 있습니다 $U \subset X$ 열다, $0\in U$, 그래서 모두 를 위해 $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ 우리는 $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. 그래서 주어진$\varepsilon$, 먼저 그러한 선택 $U$ 그런 다음 $n$ 충분히 커서 $\varphi_n \in U$.