분산 볼록 위험 측정

Question

제가 정말 힘들어하는이 질문에 당신이 저를 도울 수 있기를 바랍니다. 분산은 볼록 위험 측정입니까? 아닐 것 같지만, 반대의 예를 찾기가 정말 어렵다는 것을 알게되었습니다.

여기 내 생각이 있습니다. 다음과 같은 예를 찾으려고했습니다.$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. 알아$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.

이제 상관 관계가 최대 인 경우 $corr(X,Y)=1$ 그때:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.

그러나 이것이 더 큰 예를 찾을 수 없습니다. $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.

힌트를 줄 수 있습니까? 정말 감사합니다.

Answer 1

최대 상관 사례를 고려해 보겠습니다. 다음과 같은 값을 찾으려고합니다.

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

또는

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

또는

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

또는

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

또는

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

분명히 결코 사실이 아닙니다. $0\leq\lambda\leq 1.$ LHS는 최대 상관 케이스에서 가장 크기 때문에 :

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

분산은 볼록한 위험 측정입니다.