분석하는 경우 $f$ 이 두 조건 중 하나를 충족하면 일정합니다.

Question

공부하지 않는 학원의 과제 문제를 시도하고 있습니다. 나는이 2에 충격을 받았다.

1. 만약 $f$ 지역과 차별화 가능한 기능 $X$ 에 $\mathbb{C}$ 으로 $\mathbb{R}$ 증명하다 $f$ 반드시 상수입니다.

2. 만약 $f$ 과 $\bar {f}$ 둘 다 지역에서 분석적입니다. $X$ 지역에서 일정 함을 보여 $X$.

시도 :

1. 지역은 항상 열려 있습니다. 그래서, 범위$f$ 열려 있어야하지만 (개방형 매핑 정리) $\mathbb{R}$ 열려 있지 않다 $\mathbb{C}$ 그것의 보완으로 싱글 톤이더라도 $\{x\}$닫히지 않았습니다. 그래서 나는 진술을 어떻게 증명할 수 있는지 혼란스러워합니다.

2. 2의 경우 어떤 결과를 사용할지 정말 혼란 스럽기 때문에 보여줄 것이 없습니다. $\bar{f}$ 문제의.

친절하게 도와주세요.

Answer 1

1)에 대한 증명이 정확합니다. 2)의 경우 둘 다$f$ 과 $\bar{f}$ 홀로 모픽 (미분 가능)이므로 $\mathrm{Re}(f)$ 과 $\mathrm{Im}(f)$, 그러나 그들의 범위는 $\Bbb{R}$. 1)에서 증명 한 바에 따르면 둘 다 일정해야합니다.$f$ 일정합니다.