분수 필드 $\mathbb Z_p[[X]]$
우리는 분수 필드가 $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$되어 엄격하게 로랑 전원 시리즈의 필드에 포함$\mathbb Q_p((X))$덕분에 이 길 메르의 결과. 그래서 제 질문은 :
의 요소를 명시 적으로 설명 할 수 있습니까? $F$?
유사한 질문이 이미 여기 또는 Mathoverflow에서 요청되었습니다. 어쩌면 가장 관련성은 이 하나 의 분수 필드의 명시 적 계산에 관한이$\mathbb Z[[X]]$. 누군가는 연결된 질문의 의견에서 문제가$\mathbb Z_p$ (대신에 $\mathbb Z$)이 더 쉬워야합니다.
멱급수의 계수가 임의의 영역에있을 때 몇 가지 일반적인 필수 조건이 여기 에 제공 되지만 특정 경우에 충분한 조건을 찾고 싶습니다.$\mathbb Z_p$.
미리 감사드립니다.
답변
파워 시리즈가 있다고 가정 $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.
0이 아니면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $X^np^m\sum_k b_kX^k$ 와 $b_0 \notin (p)$.
특히 $\mathbb Z_p$ 현지입니다. $b_0$ 뒤집을 수 있으므로 $\sum_kb_k X^k$ 반전도 가능합니다. 반전 만하면됩니다. $X^np^k$
특히, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.
그래서 요소 $f\in \mathbb Q_p((X))$ 에 $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ 경우에만 $p^n$ 분모에서 경계가
(위의 설명은 "only if"비트를 보여주고 "if"의 경우 : 경계가있는 경우 다음을 곱합니다. $p^k$ ...에 대한 $k$ 충분히 크면 착륙합니다 $\mathbb Z_p((X))$)
YCor가 MO 질문에 대한 의견에서 지적했듯이 $\mathbb Z[[X]]$, 질문은 아마도 더 일반적으로 로컬 링에서 더 쉬울 것입니다. 비록 여기서는 최대 이상이 원칙이라는 것을 실제로 사용했지만 (따라서 이것은 개별 평가 링에서 작동합니다)