Bures 및 각도 메트릭의 직관은 무엇입니까?
저는 실제와 이상적인 양자 프로세스를 비교하기 위해 거리 측정을 읽고 있으며 Bures 메트릭 및 각도 메트릭의 동기를 설명합니다.
Bures 메트릭은 다음과 같이 정의됩니다.
$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$
각도 메트릭은 다음과 같이 정의됩니다.
$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$
어디 $F(\rho,\sigma)$ 사이의 충실도입니다 $\rho$ 과 $\sigma$밀도 행렬. 그는 순수한 상태에서 그러한 동기를 이해할 수 있다고 말합니다. 우리는 그것이 일반적인 유클리드 거리에서 오는 것을 볼 수 있습니다.
이러한 계산을 수행하면 유클리드 거리를 다음과 같이 정의합니다.
$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$
Bure 메트릭을 찾으려면 다음과 같이 가정해야합니다. $\langle X | Y \rangle \geq 0$.
하지만 왜 그런 것일까 요? 예를 들어 다음을 고려하면 :
$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$
나는 사이의 상대 위상을 변경할 수 없습니다 $|a \rangle$ 과 $|b \rangle$ 내가 원하는대로 (물리적 상태를 변경하기 때문에 $|\psi \rangle$). 따라서$\langle a | b \rangle $ 내가 할 수있는 일이별로 없다고 생각합니다.
그렇다면 그러한 지표의 직관을 이해하는 방법은 무엇입니까? 실제로 메트릭의 공리를 충족하는지 확인하는 "추상적 인"정의로 간주해야합니까? 그러나 논문이 동기를 설명하는 방식이 이상 할 것입니다.
각도 메트릭에 대한 비슷한 질문입니다.
나는 그것이 물리적 상태 사이의 거리를 정의하고 싶다는 사실에서 비롯된 것이라고 생각합니다 . 고려하면$|\Phi \rangle$ 과 $| \Psi \rangle$두 가지 물리적 상태, 글로벌 위상은 중요하지 않습니다. 따라서 간단한 공식을 갖기 위해 단계를 선택할 수 있습니다.$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ 그래서 $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ 상한에 해당 : $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. 우리는 수학적 상태가 아닌 물리적 상태 사이의 거리에 관심이 있기 때문에 어떻게 든 의미가 있습니다 . 따라서 우리는 원하는대로 두 상태의 글로벌 단계를 수정할 수 있습니다.
말이 돼 ?
답변
완전한 답변을 위해 여러 세부 사항 작성 —
링크 된 기사에서 시작하여 거리 측정은 실제 및 이상적인 양자 프로세스를 비교하기 위해 [arXiv : quant-ph / 0408063] , 충실도의 정의는 Eqn 에 제공됩니다. (4)$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$— 약간 겁이 날 수 있지만 충실도에 대한 두 가지 중요한 점을 보여줍니다. 일반적으로 밀도 연산자 (상태 벡터뿐만 아니라) 에 대해 정의되며 항상 음이 아닌 실수입니다. 순수 상태에 대해 계산하려면 위의 정의는 다음과 같습니다.$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ 이는 항상 음이 아닌 실수이며, 특히 어느 주에 대해 고려할 수있는 글로벌 단계에 의존하지 않습니다. $\lvert \psi \rangle$ 또는 $\lvert \phi \rangle$ (상태에 대한 물리적 정보가 아닙니다).
Bures 메트릭 (4 페이지의 두 번째 열)은 다음과 같습니다. $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ 순수한 상태의 경우 단순화 $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ 최대 값이 단위 벡터를 사용하는 경우 $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ 과 $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.
순수한 상태의 경우 절대 값을 취하는 이유를 (불합리하게) 묻습니다. $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$, 실제 부품 대신 $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ 벡터의 내적을 직접 처리하는 것처럼 $\lvert \psi \rangle$ 과 $\lvert \phi \rangle$. 대답은 우리가 상태에 관심이 있고 실제로 그러한 상태를 나타내는 특정 벡터 에는 관심이 없기 때문에 상태 벡터로 직접 작업하는 것이 반드시 합리적인 대답을 제공하지는 않는다는 것입니다. 상태$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$, 값 $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ 과 $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ 일반적으로 동일하지는 않지만 사용 여부 $\lvert \phi' \rangle$ 또는 $\lvert \phi \rangle$상태를 표현하는 것은 물리학이나 우리의 물리학 분석에 영향을주지 않고 순전히 임의적 인 선택이어야합니다. 모든 공식 선택은 이러한 임의 선택 하에서 안정적이어야하며, 또한 (메트릭의 경우) 값을 산출해야합니다.$0$ 우리가 다른 방법을 고려한다면 $\lvert \phi' \rangle$ 과 $\lvert \phi \rangle$ 동일한 상태를 나타냅니다.
결국 유클리드 메트릭으로 단순화하는 것에 대한 그들의 발언은 공식적인 진술을 제공하려는 진지한 시도가 아니라 직관을 제공하려는 빠른 시도 였을 가능성이 높다는 점을 명심하십시오. 그러나 절대 값 (또는 원하는 경우 전역 단계까지 동등한 상태 간의 최대 내적)을 취하는 것이 "상태"간의 "유클리드 거리"와의 연결을 고려하는 올바른 접근 방식이라는 의미가 있습니다. 나는 이것이 그들이 염두에 둔 것이라고 기대합니다.