Cayley 그래프의 Automorphism 그룹
허락하다 $G$그룹이 되십시오. 허락하다$\Gamma = \Gamma(G,X)$ Cayley 그래프 $G$ 생성 세트와 관련하여 정의 $X$. 나는 그것을 보여주고 싶다$G\cong \text{Aut}(\Gamma)$. 에 의해$\text{Aut}(\Gamma)$나는 하지 기본 무향 그래프의 자기 동형 그룹을 참조하면, 오히려 각 에지 관한 적절한 발생기 표지 상세한 그래프.
예를 들어 다음 방향 및 레이블이 지정된 그래프에는 사소하지 않은 자동 변형이 하나만 있습니다. $1$ ...에 $4$. 실제로 나머지 automorphism은 automorphism 아래의 단일 정점 이미지를 설명하여 고유하게 결정됩니다.
나는 이 포스트 를 따르려고했지만 조금 혼란 스러웠다. 내 질문은 다음과 같습니다.
- 요소는 어떻습니까 $\text{Aut}(\Gamma)$한정된? 그래프 동형의 일반적인 정의와 다르기 때문에이 정의를 어떻게해야할지 모르겠습니다.
- 왜 그것을 쉽게 볼 수 있습니까? $T_h\in\text{Aut}(\Gamma)$? (이 질문에 대한 대답은$\text{Aut}(\Gamma)$ 정의됩니다.)
답변
Cayley 그래프의 정점 $\Gamma$ 의 요소입니다 $G$, 가장자리가 있습니다 $(g,gs)$ 모든 $s\in X$ (어디 $X$ 생성 세트) 및 $g\in G$. 모서리$(g,gs)$ 발전기에 의해 표시됩니다 $s$. 의 automorphism$\Gamma$가장자리의 레이블도 보존하는 가장자리 집합의 순열을 유도하는 정점 집합의 순열입니다. (모든 가장자리를 동일한 레이블이있는 가장자리로 보냅니다.)
그런 함수를 불러 $\phi:G\to G$. 가장자리를 보존한다는 사실은$(\phi(g),\phi(gs))$ 모두를위한 우위가되어야합니다 $g\in G,s\in S$, 동일한 라벨이 있어야합니다. $s$, 두 번째 좌표를 의미합니다. $\phi(gs)$ 첫 번째 여야합니다. $\phi(g)$, 회 $s$. 그건,$\phi(gs)=\phi(g)s$ 모든 요소에 대해 $g\in G,s\in S$. 가장자리에 대해 동일한 아이디어를 수행 할 수 있습니다.$(gs^{-1},g)$ 라벨이 붙은 $s$ 보여주기 위해 $\phi(gs^{-1})=\phi(g)s^{-1}$ 너무.
모든 이후 $g\in G$ 요소의 제품입니다 $S$ 귀납법에 의한 $\phi(g)=\phi(e)g$. 즉, 레이블이 지정된 automorphism$\phi$ 의 $\Gamma$ 단순히 왼쪽 곱셈입니다 $T_h(g):=hg$ 그룹 요소 별 $h=\phi(e)$, 그리고 반대로 (연관 속성에서 간단히 뒤 따름).