차별화가 가능합니까 $\sin x$ 에 관하여 $\cos x$ 첫 번째 원칙에서?

Question

저는 오늘 대학 입학 시험을 위해 연습 문제를하고있었습니다. $\sin x$ 에 관하여 $\cos x$. 내가 찾은 솔루션은 체인 규칙을 사용했습니다.

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

하지만이 문제에 대해 생각할수록 조금 더 불편 해졌습니다. 나는 그것이 가능하다면 다른 기능과 관련하여 기능을 구별한다는 것이 무엇을 의미하는지 정말로 이해하지 못합니다. 그래서 차별화하려고$\sin x$ 에 관하여 $\cos x$ 첫 번째 원칙에서 내가 무엇을 사용하고 있는지 알았습니다.

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

이것의 배후에있는 아이디어는 $\cos x$다른 변수와 마찬가지로. 그러나 이것은 나에게 잘못된 대답을 주었다.$(\cos \circ \cos)(x)$, 그리고 이유를 이해할 수 없습니다. 다른 기능과 관련하여 기능을 차별화하는 것이 무엇을 의미하는지 직관적으로 생각하는 방법이 있습니까?

Answer 1

변화를 측정하고 싶습니다. $\sin{x}$ 변화와 관련하여 $\cos{x}$. 그래서 당신은$\sin{x}$ 의 기능으로 $\cos{x}$, 이는 $\sin(\cos{x})$. 거기에 당신의 근본적인 문제가 있습니다.

원하는 것 : if $x \in [0, \pi]$, 다음 $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, 등 \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} 바라는대로.

운동 : 언제 일어나는가 $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

세트 $y=\cos x$, 다음에 $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ 한도는 써야한다 $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$