참조 요청 : 디오 판틴 방정식
나는 Diophantine 방정식의 주제에 대한 교과서 또는 강의를 찾고 있습니다. 나는 모듈 식 산술, 원뿔 및 Hasse 원리의 기본 원리와 타원 곡선, Mordell의 정리 등의 기본 원리에 익숙합니다.
내가 필요한 것은 기본을 넘어서는 것입니다. 나에게 고급 이론을 가르치고 또한 디오 판틴 표면 (곡선뿐만 아니라)에 대해서도 가르쳐 줄 것입니다.
답변
이것은 (당신과 같은) Diophantine 기하학의 정의와 방법 중 일부에 이미 표면적으로 익숙한 사람에게 좋은 선택 일 수 있습니다.
- Marc Hindry, Joseph H. Silverman- Diophantine Geometry : An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.
다음 두 개는 훌륭한 해설 기사 (특히 첫 번째 기사)로, 그 당시 많은 영감을 얻었습니다.
Mazur, Barry. 곡선에 대한 산술. 황소. Amer. 수학. Soc. (NS) 14 (1986), no. 2, 207--259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167
Mazur, Barry. 수 이론에서 지역에서 세계로의 통과에 관하여 ( link )
Henri Darmon은 곡선의 합리적인 점에 대한 몇 가지 멋진 기사를 보유하고 있습니다.
곡선의 유리 점 ( 링크 )
모듈 형 타원 곡선의 유리 점 ( 링크 )
Anthony Varilly-Alvarado는 다양한 유형의 표면에 대한 합리적 점에 대한 여러 가지 훌륭한 소개를 제공합니다.
델 페조 표면의 산술 강의 ( 링크 )
K3 표면의 산술 ( 링크 )
Alexei Skorobogatov는 2013 년 표면의 합리적 점과 고차원 적 품종에 대한 과정을 가르쳤습니다. 이 메모는 접근성과 일반성 사이에서 큰 균형을 이룹니다.
- 산술 기하학 : 유리 점 ( 링크 )
그런 다음 타원 표면의 합리적인 점에 대한 Yonatan Harpaz의 다음 메모가 있습니다.
- 타원 섬유에 대한 합리적 포인트-코스 노트 ( 링크 )
마지막으로 (현재), Brendan Hassett는 품종에 대한 합리적 포인트의 잠재적 밀도라는 주제에 대한 멋진 기사를 가지고 있습니다.
- 대수 품종에 대한 합리적 포인트의 잠재적 밀도 ( 링크 )
예
- 숫자 이론 : 제 1 권 : 도구와 디오 판틴 방정식 , 수학 대학원 교과서 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; 과
- 숫자 이론 : 볼륨 II : 분석 및 현대 도구 , 수학 대학원 텍스트 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2
작성자 : Henri Cohen.
대수 기하학 없이는 현대 이론에서 멀리 도달하기가 어렵습니다.
다음은 책에서 취한 접근 방식입니다.
- Bjorn Poonen, Rational points on Varieties, Graduate Studies in Mathematics 186 (2017), 발행인 페이지 , Author pdf .
Baker의 방법, Schmidt의 부분 공간 정리 등에 관심이 있다면 Evertse와 Győry의 다음 최근 책을 좋아할 것입니다.
- Diophantine 수 이론의 판별 방정식 , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
- Diophantine 수 이론의 단위 방정식 , 고급 수학의 캠브리지 연구, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
위에서 언급 한 책에 하나 더 추가하겠습니다.
- J. Kollár, KE Smith, A. Corti의 합리적이고 거의 합리적인 품종 (고급 수학 캠브리지 연구).
저자는 고전적 방법과 현대적 방법을 혼합하여 합리성 문제에 대해 다소 기초적인 접근 방식을 제시합니다.