참조 요청 : 미적분학의 기본 정리의 다차원 일반화
$\newcommand\R{\mathbb R}$허락하다 $f\colon\R^p\to\R$연속적인 기능이어야합니다. 에 대한$u=(u_1,\dots,u_p)$ 과 $v=(v_1,\dots,v_p)$ 에 $\R^p$, 허락하다 $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ 허락하다 $F\colon\R^p\to\R$ 역도 함수 $f$, 의미에서 $$D_1\cdots D_p F=f,$$ 어디 $D_j$ 에 대한 부분 미분의 연산자입니다. $j$th 인수; 이 반복 된 편미분의 결과는 편도 함수를 취하는 인수의 순서에 의존하지 않는다고 가정합니다. 허락하다$[p]:=\{1,\dots,p\}$. 각 세트$J\subseteq[p]$, 허락하다 $|J|$ 카디널리티를 나타냅니다 $J$.
그러면 미적분학의 기본 정리 ( Lemma 5.1 )에 대한 다음과 같은 다차원 일반화를 설정하는 것은 어렵지 않습니다 . \ begin {equation} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {equation} 여기서$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
다른 곳에서이 문장이나 비슷한 문장을 본 사람이 있습니까? (저는 증거가 아닌 참고 문헌에 대해서만 묻습니다.)
답변
이와 같은 기본적인 사실은 수천 번 재발 명되었을지도 모르지만 이것이 등장한 첫 번째 논문을 찾기가 어렵습니다. 그러나 누락 된 컨텍스트를 알려 드리겠습니다. 관련 "스마트"보간 공식 또는 정수 나머지가있는 Taylor 공식에 대한 건설적 양자 장 이론 및 통계 역학 분야 에는 전체 산업이 있습니다 . 이들은 소위 클러스터 확장 을 수행하는 데 사용됩니다 . OP의 정체성을 위해, 복용에있어 일반성의 손실이 없습니다.$u=(0,0,\ldots,0)$ 과 $v=(1,1,\ldots,1)$. 이 경우 부울 격자의 Möbius 반전을 통해 공식은 다음과 같은 ID에서 비롯됩니다.
허락하다 $L$유한 집합이어야합니다. 허락하다$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ 충분히 부드러운 기능이어야하며 $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, 다음 $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ 어디 $\psi_A(\mathbf{h})$ 요소입니다 $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ 의 $\mathbb{R}^L$ 요소에서 정의 $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ 에 $[0,1]^A$ 규칙에 따라 : $x_{\ell}=0$ 만약 $\ell\notin A$ 과 $x_{\ell}=h_{\ell}$ 만약 $\ell\in A$. 물론 1) 이것을 모두에게 적용해야합니다$L$의 하위 집합 인 $[p]$, 2) 부울 격자에서 Möbius 반전을 사용하고 3) $L=[p]$, 그리고 이것은 OP의 정체성을 제공합니다.
위의 공식은 "한 쌍의 큐브"클러스터 확장을 수행하는 데 사용되는 가장 순진한 공식입니다. 기사의 공식 III.1 참조
A. Abdesselam 및 V. Rivasseau, "나무, 숲 및 정글 : 클러스터 확장을위한 식물원" .
책 115 페이지의 단어로도 설명되어 있습니다.
V. Rivasseau, "교란에서 건설적 재 정규화로" .
이제 공식은 훨씬 더 강력한 것의 특별한 경우입니다.
A. Abdesselam 및 V. Rivasseau, "명시적인 대규모 대 소규모 필드 다중 규모 클러스터 확장" ,
"허용 된"시퀀스에 대한 합계 $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ 임의 길이의 요소 $L$, 하위 집합 대신 $L$. 허용의 개념은 임의의 중지 규칙을 기반으로합니다. 위의 ID는 "허용됨"에 해당합니다.$=$"반복없이"또는 "반복하지 않아야"하는 중지 규칙 $\ell$이미 나타난 시퀀스의 끝에. 이러한 종류의 중지 규칙을 사용하여 Rivasseau와 함께 내 기사의 Lemma 1을 사용하여 Hermite-Genocchi 공식, " 정규성 구조 이론"의 부록 A에있는 Hairer의 이방성 Taylor 공식 및 기타 많은 것들을 증명할 수 있습니다. . 언제$f$ 예를 들어 선형 형식의 지수입니다. MO 포스트에서와 같이 다양한 대수적 정체성을 얻을 수 있습니다.
합리적 기능 동일성
순열에 대한 합계를 포함하는 ID
언급하는 것을 잊었습니다. Lemma 1을 사용하여 미적분 1에서 Taylor 공식을 도출 할 수 있습니다. $L$ 하나의 요소를 가지며 허용되는 시퀀스를 최대 길이의 시퀀스로 정의 $n$. 보다
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
그만큼 $p=2$차원 사례는 Rogawski의 미적분 교과서의 연습 문제입니다. 2008 Early Transcendentals 에디션의 885 페이지, 섹션 15.1 (여러 변수의 통합)에있는 연습 47입니다.