차원 8의 불변 삼중 벡터를 기하학적으로 설명하려면
$\newcommand\Alt{\bigwedge\nolimits}$허락하다 $G=\operatorname{SL}(2,\Bbb C)$, 그리고 $R$ 자연적인 2 차원 표현을 나타냅니다. $G$ 에 ${\Bbb C}^2$. 정수의 경우$p\ge 0$, 쓰기 $R_p=S^p R$; 그때$R_1=R$ 과 $\dim R_p=p+1$.
Onishchik과 Vinberg의 저서에있는 표 5를 사용하여 $$ R_2\otimes\Alt^2 R_4 $$다중성을 갖는 사소한 표현을 포함합니다. 나는 테이블을 블랙 박스로 사용했다.
질문. 허락하다$V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4$대응하는 1 차원 부분 공간을 나타냅니다. 어떻게 설명 할 수 있습니까?$V$기하학적 으로 부분 공간 으로 ?
동기 부여 : 나는$\operatorname{PGL}(2,k)$-고정 삼중 벡터 $$v\in V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4\subset \Alt^3(R_2\oplus R_4)$$ 8 차원 벡터 공간의 $W=R_2\oplus R_4$ 들판 위에 $k$ 특성 0의 Galois-cocycle을 사용하여이 모든 것을 왜곡합니다. $\operatorname{PGL}(2,k)$. 이를 위해 기하학적 설명이 필요합니다.$V$.
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답변
여기 기하학의 일부를 설명하는 또 다른 아주 멋진 (그러나 여전히 대수적인) 해석이 있습니다. $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 있다 $2$-에-$1$ 표현 $\operatorname{SL}(3,\mathbb{C})$ 거짓말 대수가 다음과 같이 분할되도록 $$ {\frak{sl}}(3,\mathbb{C}) = {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus {\frak{m}} $$ 어디 ${\frak{m}}$ ($5$-차원) 직교 보완 ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ Killing 형식을 사용하여 ${\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$. 참고${\frak{m}}$ 환원 불가능하다 ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$-모듈 및 모든 요소 $x\in {\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$ 다음과 같이 고유하게 작성할 수 있습니다. $x = x_0 + x_1$ 와 $x_0\in {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ 과 $x_1\in{\frak{m}}$. 또한$[{\frak{m}},{\frak{m}}]= {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$.
이것은 원하는 페어링을 정의합니다. ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\times \bigwedge\nolimits^2({\frak{m}})\to\mathbb{C}$: 보내기 $(x_0,y_1,z_1)$ ...에 $\operatorname{tr}(x_0[y_1,z_1])$. 물론 이것은$\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-명백한 페어링의 불변.
순수한 기하학적 구성에 대해서는 다음 대수적 고려 사항 후에 아래를 더 참조하십시오.
Wronskian isomorphism이 있습니다. $R_4$ 두 번째 대칭 거듭 제곱에 대한 등각 $R_3$. 따라서 문제의 불변은$I(Q,C)$, 이진 2 차의 결합 불변 $Q$ 그리고 이진 입방 $C$, 선형 인 $Q$ 및 2 차 $C$. 이것은 실제로 스케일에 따라 고유하며 고전적인 기호 표기법 (예 : Grace and Young 참조)으로 제공됩니다.$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$ 어디 $Q=a_{x}^{2}$ 과 $C=b_{x}^{3}=c_{x}^{3}$.
또 다른 구성은 이진 판별 기에서 시작하여 쌍 선형 (고유 한 불 변형)을 얻기 위해 양극화하는 것입니다. $R_2$),이 쌍 선형 형식을 $Q$ 및 헤 시안 $C$.
Wronskian isomorphism을 사용하지 않으려면 불변은 다음과 같습니다. $J(Q,F_1,F_2)$, 2 차 3 선형 $Q$ 그리고 두 이진 사분 법 $F_1,F_2$. 반대 칭을 만족시킬 것입니다$J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ 그리고 상징적 인 형태로 주어질 것입니다 $$ (ab)(ac)(bc)^3 $$ 지금 어디 $Q=a_{x}^{2}$, $F_1=b_{x}^{4}$, 및 $F_2=c_{x}^{4}$.
기하학적 구조 :
중히 여기다 $\mathbb{P}^1$ Veronese에 의해 원추형으로 포함 $\mathscr{C}$ 에 $\mathbb{P}^2$. 이진 2 차$Q$ 포인트에 해당 $\mathbb{P}^2$. 바이너리 큐빅$C$ 제수 또는 순서가 지정되지 않은 3 점 집합에 해당 $\{P_1,P_2,P_3\}$ 의 위에 $\mathscr{C}$. 허락하다$T_1, T_2, T_3$ 원뿔의 접선 $P_1,P_2,P_3$. 교차점 고려$T_1\cap P_2P_3$, $T_2\cap P_1P_3$, $T_3\cap P_1P_2$. 정렬되어 선을 정의합니다.$L$. 불변의 소멸$I(Q,C)$ 지점이있는 상황을 감지 $Q$ 줄에있다 $L$. 내가 언급 한 공선 성 결과에 이름이 있는지 기억이 나지 않지만 파스칼 정리의 퇴화 사례입니다.