체인 규칙이 일반 파생 상품에 적용됩니까?

Aug 15 2020

벡터 공간 $\mathbb{R}^n$ 우리는 사슬 규칙을 따르는 편미분을 가지고 있습니다. 예 :

허락하다 $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, 표준 기준으로 가정 $\mathbb{R}^n$ 이다 $x^i$ 및 표준 기준 $\mathbb{R}^m$ 이다 $y^j$. 그래서 구성을 위해 우리는 :

$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$

이것이 표준 체인 규칙입니다.

이제 대수 사이의 선형 맵으로 일반 케이스 미분을 고려하십시오. $v:A\to B$$v(fg) = fv(g)+gv(f)$.

이 경우 구성에 대한 체인 규칙을 수행합니다. $v(f\circ g)$아직도 잡아? 아닌 것 같나요?

(우리는 차동 $dF_p:T_pM\to T_p N$ 체인 규칙은 여전히 ​​유효합니다)

답변

6 AlekosRobotis Aug 16 2020 at 03:56

부드러운 매니 폴드의 경우, 체인 규칙이라고 부르는 것은 마크 포인트가있는 매니 폴드를 취하는 펑터의 기능성의 표현입니다. $(M,p)$ 접선 공간으로 $T_pM$ 그런 물체의 매끄러운지도를 $f:(M,p)\to (N,q)$ 관련 미분에 $df_p:T_pM\to T_qN$. 기능성은 주어진 구성이$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ 관계가있다 $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. 덜 난해한 언어에서 이것은 단지 구성의 차이가 차이의 구성이라고 말합니다. 구체적인 용어로 표현하면$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ 위와 같이 차이가 각각 $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$$$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ 첫 번째 공간의 좌표는 $x^1,\ldots, x^n$ 두 번째 공간의 좌표는 $y^1,\ldots, y^m$ 첫 번째 행렬은 $m\times n$, 두 번째는 $1\times m$. 미분의 합성은 이러한 행렬의 곱입니다.$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ 이것이 어디 $1\times n$ 매트릭스.

당신이 묻는 질문이 다릅니다. 그렇게 말합시다$A$$B$ 아르 $k-$일부 분야에 대한 대수 $k$. 그런 다음 형태$v:A\to B$ 그것은 $k-$선형 및 라이프니츠 (예 : $v(fg)=v(f)g+fv(g)$)는 미분 연산자의 한 유형입니다. 그러나 여기서는 체인 규칙이 의미하는 바가 명확하지 않습니다. 체인 규칙은 다양한 설정에서 함수의 복합에 미분 연산자를 적용 할 때 발생하는 것입니다. 이 경우$f\circ g$ 선험적으로도 말이되지 않습니다.

나는 다음과 같은 제안을한다 : 주어진 기하학적 공간의 범주 $\mathscr{C}$및 "함수" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, 각 공간에 할당 $X$ 대수 구조 $F(X)$, 우리는 말한다 $F$체인 규칙을 준수하는 경우$F$ 위의 의미에서 기능적입니다. $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ 우리는 $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. 이것은 약간 모호하지만 우리가 체인 규칙을 정의하기 위해 "사용한"것을 보여줍니다.