체인 콤플렉스의 투영 해상도 구축
나는 체인 콤플렉스 범주에서 투영 해상도를 구성하려고합니다.
$\dots \to 0 \to M \to 0 \to \dots$
투영 해상도 측면에서이 작업을 수행 할 수 있어야합니다. $M$ 그러나 나는 완전히 붙어 있습니다.
투영 체인 콤플렉스가 정확히 분할되고 투영법에 의해 형성된다는 것을 알고 있습니다. 따라서 해상도를 반 평면 이중 콤플렉스로 생각하면 $M$ 투영 해상도 여야합니다. $M$.
나는 속임수를 사용하려고 $0 \to P \to P \to 0$ 투영 단지입니다 $P$ 투사 적이지만, 우리의 콤플렉스 위에 올려 놓으면 반드시 정확성을 얻을 수는 없습니다.
답변
만약 $$\dots\to P_2\to P_1\to P_0 \to M\to0$$ 의 투영 해상도입니다 $M$ 모듈로 $\dots\to0\to M\to0\to\dots$ 다음과 같은 형태의 체인 콤플렉스 범주에서 (사영 체인 콤플렉스에 의해) 해상도가 있습니다 (미분을 알아낼 것입니다).
$\require{AMScd}$ \ begin {CD} @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_2 @ >>> P_2 \ oplus P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >> > 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> 0 @> >> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 \ end {CD}
이 경우, 당신은 콤플렉스 위에 경계가있는 범주에 속합니다. $\textit{projective resolution}$ 단지의 (이 경우 $\bar{M}:\cdots\rightarrow 0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$)는 사영의 경계 위의 복합체를 의미합니다. $P$ 유사 동형으로 $P\rightarrow \bar{M}$. 따라서 일반적인 투영 해상도를 사용하면$M$ 모듈로 $$\cdots\rightarrow P^{-n}\rightarrow P^{-n+1}\rightarrow\cdots\rightarrow P^{-1}\rightarrow P^{0}\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$$ 우리는 투영 해상도를 구성 할 수 있습니다. $\bar{M}$ 다음과 같이 $\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ cdots @ >>> P ^ {-1} @ >>> P ^ {0} @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @V {f ^ {-2}} VV @V {f ^ {-1}} VV @V {f ^ {0}} VV @V {f ^ {1}} VV @V {f ^ {1}} VV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> \ cdots \ end {CD} 여기서 화살표$f:\bar{P}\rightarrow \bar{M}$ 분명히 준 동형입니다.
동종 카테고리에서 $K(\mathscr{A})$ (어디 $\mathscr{A}$ 링 위의 모듈 범주와 같은 아벨 범주입니다) 이것을 일반화하고 이야기 할 수 있습니다. $K$-투영 해상도, 단지 $X$ 에 $K(\mathscr{A})$ 그것을 확인하는 $Hom(X,Z)=0\ ,\ \forall Z\in\mathscr{Z}=\lbrace Z\in K(\mathscr{A})\ \text{such that}\ H^{n}(Z)=0\ \forall \ n\in\ \mathbb{N} \rbrace $.
좋은 점은 $P$ 사영의 복잡한 위의 경계이며 $K$-투영.