측정 결과는 무엇입니까 $\sigma_x$ 주에 $|01\rangle+|10\rangle$?
확률 을 계산하는 방법 과 Pauli 행렬을 연산자로 사용하여 Bell의 상태를 측정 한 특정 결과를 얻는 방법에 대해 혼란 스러웠습니다 . 무언가를 측정 할 때 관련된 상태는 관찰 대상의 고유 상태에 투영됩니다.
주어진 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2} (|01⟩ + |10⟩)$ 국가 및 $\sigma_x = \left[\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right]$ 관찰 할 수 있습니다.
확률이 1/2이면 실제로 계산하는 방법은 무엇입니까? 측정 후 상태는 어떻습니까?
답변
이를 수행하는 방법은 먼저 해당 연산자의 고유 상태와 관련하여 보유한 상태를 다시 작성해야합니다. $$ |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+\rangle + |-\rangle)\\ |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+\rangle - |-\rangle) $$ 그래서 $|\psi\rangle$ 된다 $$ \begin{align} |\psi\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( \frac{1}{2} (|+\rangle + |-\rangle)(|+\rangle - |-\rangle) + \frac{1}{2} (|+\rangle - |-\rangle)(|+\rangle + |-\rangle) \Big) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} (2|++\rangle - 2|--\rangle) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|++\rangle - |--\rangle) \end{align} $$
이 상태는 여전히 $X$-basis는베이스 사이를 회전하는 것만으로는 얽힘이 사라지지 않는 일반적인 속성입니다. 두 번째는 측정하고 싶다고 말할 때$X$, 단일 큐 비트 연산자를 작성했지만 이것은 2- 큐 비트 상태입니다. 텐서 곱을 취하여 쉽게 2 큐 비트 연산자로 만들 수 있습니다.$$ \text{X on the first qubit} \rightarrow X \otimes I\\ \text{X on the second qubit} \rightarrow I \otimes X $$ 여기에서 우리가 측정하는 얽힌 쌍의 큐비 트는 실제로 중요하지 않습니다. $X$-기초. 상태의 구성 요소가 이제 위의 연산자의 고유 상태로 표현되었으므로 상태 구성 요소의 진폭에 대한 표준 제곱을 취하여 다음 중 하나를 얻을 수 있습니다.$|+\rangle$ (+1) 또는 $|-\rangle$ (-1) 확률로 $1/2$ 어느 쪽 큐 비트에서든 측정을 선택합니다.
확률 / 측정에 대해서는 @ KAJ226의 게시물을 참조하십시오. 아래에서 고유 벡터를 얻는 방법을 설명하겠습니다.
운영자를 위해 $Z$ 과 $Y$절차는 동일합니다. 계산 상태는$|0\rangle$ 과 $|1\rangle$ 이다 의 고유 상태는$Z$연산자이므로 다시 작성할 필요가 없습니다. 의 고유 상태$Y$ 연산자는 $$ |y+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + i|1\rangle)\\ |y-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle - i|1\rangle) $$ 계산 상태가 다시 작성되도록 $Y$-기준은 $$ |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|y+\rangle + |y-\rangle)\\ |1\rangle = \frac{1}{i\sqrt{2}} (|y+\rangle - |y-\rangle) $$
행렬 (연산자)의 고유 벡터를 얻으려면 다음 방정식의 해를 찾습니다.
$$ A|v\rangle = \lambda |v\rangle\\ (A - \lambda I) |v\rangle = 0 $$
어디 $A$ 연산자입니다. $I$ 단위 행렬입니다. $|v\rangle$ 벡터이고 $\lambda$고유 값입니다. 이 방정식은 행렬의 행렬식이$A - \lambda I$ 예를 들어, $X$ 운영자
$$ det(X - \lambda I) = 0\\ det\begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix} = 0\\ \lambda^2 - 1 = 0\\ \lambda = \pm 1 $$
고유 값을 알면 원래 방정식에 다시 연결하여 고유 벡터를 찾습니다. 첫 번째 고유 값의 경우$\lambda = +1$
$$ A|v\rangle = +1 |v\rangle\\ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} $$
그것은 말한다 $a=b$, 따라서 고유 값 +1의 고유 벡터가 벡터가됩니다. $a\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 일부 스칼라 $a$. 그러나 이러한 벡터는 양자 상태이므로 정규화되어야합니다.$a$
$$ \langle v | v \rangle = 1 = a^* a \begin{bmatrix} 1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 2|a|^2 \\ \frac{1}{2} = |a|^2 $$
간단한 해결책은 $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$, 이것은 익숙한 정규화 인자입니다. 우리가 찾은 상태는
$$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \bigg) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \big( |0\rangle + |1\rangle \big) \equiv |+\rangle \end{align} $$
따라서 고유 벡터가 $X$ 이다 $|+\rangle$, 적용 $X \otimes I$ 주에 $|+\rangle \otimes |\phi\rangle$ 임의적으로 $|\phi\rangle$ 수확량 $+1 |+\rangle |\phi\rangle$, 고유 값 +1의 고유 벡터입니다.
참고 $ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ 두 개의 고유 벡터가 있습니다. $|+ \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ 과 $|- \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $ 해당 고유 값을 사용하여 $+1$ 과 $-1$, 각각.
Born 규칙 에 따르면 우리가 얻을 확률은$+1$ 에 해당하는 첫 번째 큐 비트에서 $|+\rangle$ 이다 $Tr( \rho M)$, 어디 $\rho$ 밀도 행렬이고이 경우에는 $\rho = |\psi \rangle \langle \psi|$, 및 $M$ 측정 결과에 해당하는 기저 벡터에 대한 투영 연산자입니다. $+1$이 경우 첫 번째 큐 비트에서. 명시 적으로 계산 :
$$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi | = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
\begin{align} M = |+\rangle \langle+| \otimes I = \bigg[ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \bigg] \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} &= \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{align}
따라서,
$$Tr(\rho M) = Tr\bigg(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \bigg) = \dfrac{1}{2} $$
업데이트 : 측정 후 상태,$|\psi_{post}\rangle $, 될 것입니다 \begin{align} |\psi_{post}\rangle = \dfrac{ M |\psi \rangle }{ \sqrt{prob(+1)}} = \dfrac{ \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} }{ \sqrt{ 1/\sqrt{2} } } = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = |+ +\rangle \end{align}
참고 $|++\rangle = |+ \rangle \otimes |+\rangle = \bigg(\dfrac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}\bigg) \otimes \bigg(\dfrac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}\bigg) = \dfrac{|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle }{2} $
이것은 측정으로 확장 될 수 있습니다 $Y$기초도. 그러나$ \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} $ 따라서 두 개의 고유 벡터는 $|i \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} $ 과 $|-i \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} $ 해당하는 고유 값 $+1$ 과 $-1$각기. 그런 다음 볼 확률$+1$ 첫 번째 큐 비트에서 다시 계산할 수 있습니다. $Tr(\rho M)$ 하지만 여기는 $M = |i\rangle \langle i| \otimes I $ 다음과 같이 명시 적으로 계산할 수 있습니다.
\begin{align} M = |i\rangle \langle i| \otimes I = \bigg[ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} \bigg] \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} &= \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -i & 0\\ 0 & 1 & 0 & -i\\ i & 0 & 1 & 0\\ 0 & i & 0 & 1\end{pmatrix} \end{align}
따라서
$$Tr(\rho M) = Tr\bigg(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -i & 0\\ 0 & 1 & 0 & -i\\ i & 0 & 1 & 0\\ 0 & i & 0 & 1\end{pmatrix} \bigg) = \dfrac{1}{2} $$
업데이트 2 :
측정하고자하는 경우 $Z$ 이미 답을 볼 수 있기 때문에 사소하지만 확인을 위해 동일한 절차를 따를 수 있습니다. $\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & -1 \end{pmatrix} $ 두 개의 고유 벡터가 있습니다. $|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 과 $|1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 두 개의 연관 고유 값 $+1$ 과 $-1$각기. 이제 측정 할 첫 번째 큐 비트를 얻을 확률을 알았습니다.$+1$ 이다 $Tr(\rho M)$ 어디 $\rho$ 이전과 유사하며 $M = |0\rangle \langle 0| \otimes I$, 이는 명시 적으로 다음과 같이 작동합니다.
\begin{align} M = |0\rangle \langle 0| \otimes I = \bigg[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \bigg] \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{align}
그 후
$$Tr(\rho M) = Tr\bigg(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \bigg) = \dfrac{1}{2} $$
접힌 후 상태는 다음과 같습니다. \begin{align} |\psi_{post}\rangle = \dfrac{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} }{ \sqrt{ 1/\sqrt{2} } } = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |0 1\rangle \end{align}
이것은 우리가 가지고 있기 때문에 의미가 있습니다 $|\psi \rangle = \dfrac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}} $ 따라서 첫 번째 큐 비트가 상태에 있으면 $|0\rangle$ 측정 후 이것은 상태가 $|\psi \rangle$ 고유 벡터로 축소되었습니다. $|01 \rangle$, 따라서 계산 결과가 $|01\rangle$ ...에 대한 $|\psi_{post}\rangle$. 마찬가지로 판독 결과 첫 번째 큐 비트가$|1\rangle$ 그때 $|\psi_{post}\rangle$ 이었을 것입니다 $|10\rangle$.