측정 이론의 거의 모든 곳에서 수렴에 관한 문제

Dec 04 2020

다음과 같은 문제가 있습니다.

허락하다 $(X, \mathcal{F}, \mu)$ 측정 공간 $\mu (X)<\infty.$ 허락하다 $f,f_n:X \to \mathbb{C}$측정 가능합니다. 세트$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$ 어디 $a_n>0$$a_n \to 0$. 만약$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ 그때 $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$

나는이 문제를 많이 시도 해왔다. 예를 들어, 저는$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ 모든 $\varepsilon>0$ 사실을 사용하여 $\mu(A_n) \to 0$ (시리즈가 수렴하기 때문에) 그리고 심지어는 $(a_n)$엄격하게 비난 할 수 있습니다. 내 "가까운"시도에서 나는 모든$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ 무한히 많은 세트에 포함되어 있습니다. $A_n$. 그러나 결국 작동하지 않습니다.

내가 시도 할 때마다 "나는 해결책에 매우 가깝다"지만 ... 그러나 뭔가 실패했습니다.

이 문제를 해결하도록 도와 주시겠습니까?

답변

4 WhoKnowsWho Dec 04 2020 at 08:35

먼저 세트가 어디에 있는지 관찰하십시오 $f_n$ 수렴하지 않습니다 $f$ 측정 가능하며 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$

이제 $f_n\to f$ 거의 모든 곳에서 $A$ 측정이있다 $0.$ 이를 위해 먼저 $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$

이후 $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ 유한합니다. $k$ 큰, 우리는 만들 수 있습니다 $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$임의로 작습니다. 그것은 다음과 같습니다$\mu(A)=0.$