최대 국소 부분 군의 세 가지 켤레 클래스가있는 유한 단순 그룹

Question

$\DeclareMathOperator\PSL{PSL}$[1]에서

유한 한 풀 수없는 그룹 $G$ 다음과 같은 경우에만 최대 부분 군의 3 개 켤레 클래스가 있습니다. $G/\Phi(G)$ 동형이다 $\PSL(2,7)$ 또는 $\PSL(2,2^q)$ 일부 전성기 $q$. 이것은 유한 한 단순 그룹 중에서$\PSL(2,7)$ 과 $\PSL(2,2^q)$ 최대 하위 그룹의 세 가지 켤레 클래스가 있습니다.

내 질문 : 최대 로컬 하위 그룹 의 세 가지 켤레 클래스로 유한 단순 그룹을 모두 찾을 수 있는지 궁금합니다 .

하위 그룹은 소수 전원 순서의 일부 중요하지 않은 하위 그룹의 정규화 인 경우 로컬 하위 그룹입니다. 적절한 로컬 하위 그룹은 적절한 로컬 하위 그룹 중에서 최대 값 인 경우 최대 로컬 하위 그룹입니다.

최대 부분 군이 반드시 국소적일 필요는 없으며 최대 부분 군이 반드시 최대 부분 군일 필요는 없습니다. 나는 3 개의 비공 액 최대 부분 군이$\PSL(2,4)=A_5$ 과 $\PSL(2,7)$ 각각 지역이지만 사실입니까 $\PSL(2,2^q)$ 각 소수에 대해 최대 국소 부분 군의 세 가지 켤레 클래스가 있습니다. $q$? 그런 속성을 가진 모든 단순 그룹을 어떻게 찾을 수 있습니까?

도움을 주시면 감사하겠습니다!

참고:

[1] 벨로 노고 프, 버지니아 : 세 가지 클래스의 최대 하위 그룹이있는 유한 그룹 . 수학. Sb., 131, 225–239 ​​(1986)

Answer 1

CFSG를 사용하고 싶다면 이것이 가능하다고 생각합니다 (H. Bender의 유한 그룹 분류를 일부 추가 작업과 함께 강력하게 포함 된 하위 그룹을 사용하는 경우 CFSG 없이도 가능할 수 있음).

산발적 인 그룹의 경우 확인 문제입니다. 교대 그룹에서$G$, 3 개의 비공 액 최대 국소 부분 군이 있습니다. $N_{G}(\langle (123) \rangle)$, $N_{G}( \langle (12)(34), (13)(24) \rangle )$ 과 $N_{G}(\langle (12345) \rangle)$, 그리고 $n \geq 7$, 이들 중 어느 것에도 결합되지 않는 최대 국소 부분 군을 쉽게 구성 할 수 있습니다.

간단한 거짓말 유형의 특성을 정의하는 경우 $p$, 마지막 3 위의 경우 최대 3 개의 켤레 클래스가 있습니다. $p$-locals (여기서는 포물선)-켤레가 아닌 최대 로컬 하위 그룹이기도합니다. 또한, (몇 가지 예외를 제외하고) 최대 원환 체의 노멀 라이저는$T$의 Borel은 포물선에 켤레가 아닌 최대 로컬 하위 그룹에 포함됩니다.

따라서 실제 작업은 특성을 정의하는 거짓말 유형의 단순한 그룹을 다루는 것입니다. $p$ 그리고 기껏해야 순위 $2$, 그리고 이것은 관리 할 수 ​​있어야합니다.